Номер 261, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^{\circ}$, высота пирамиды равна 6 см. Найдите объём пирамиды.

261. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^\circ$, высота пирамиды равна 6 см. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $SO$ — высота пирамиды, $H = SO = 6$ см. Основание $ABCD$ — квадрат. Обозначим сторону основания через $a$. Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 H$

Для нахождения объёма необходимо найти сторону основания $a$.

Двугранный угол при боковом ребре — это угол между двумя смежными боковыми гранями. Рассмотрим двугранный угол при ребре $SB$. Его линейным углом будет угол $\angle AKC$, где плоскость $AKC$ перпендикулярна ребру $SB$ (точка $K$ лежит на $SB$). По условию $\angle AKC = 120^\circ$.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, высоты $AK$ и $CK$, проведённые к боковому ребру $SB$ в треугольниках $\triangle SAB$ и $\triangle SCB$ соответственно, равны ($AK=CK$). Таким образом, $\triangle AKC$ — равнобедренный.

Рассмотрим $\triangle AKC$. Сторона $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$, поэтому $AC = a\sqrt{2}$. По теореме косинусов для $\triangle AKC$:

$AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos(\angle AKC)$

$(a\sqrt{2})^2 = AK^2 + AK^2 - 2 \cdot AK^2 \cdot \cos(120^\circ)$

$2a^2 = 2AK^2 - 2AK^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$2a^2 = 2AK^2 + AK^2$

$2a^2 = 3AK^2$

$AK^2 = \frac{2a^2}{3}$

Теперь найдём $AK$ другим способом. $AK$ — это высота в треугольнике $\triangle SAB$, опущенная на сторону $SB$. Найдём площадь $\triangle SAB$ двумя способами.Пусть $b$ — длина бокового ребра ($b = SB$), а $L$ — апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины $S$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOB$ (где $O$ — центр основания), найдём квадрат бокового ребра $b^2$:

$OB = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = SB^2 = SO^2 + OB^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$

Площадь $\triangle SAB$ можно выразить как $\frac{1}{2} SB \cdot AK$.Также площадь $\triangle SAB$ можно выразить через основание $AB=a$ и апофему $L=SM$ (где $M$ — середина $AB$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ найдём квадрат апофемы $L^2$:

$OM = \frac{a}{2}$

$L^2 = SM^2 = SO^2 + OM^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{4}$

Площадь $\triangle SAB = \frac{1}{2} AB \cdot L = \frac{1}{2} a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} b \cdot AK = \frac{1}{2} a \cdot L$

$AK = \frac{a \cdot L}{b}$

$AK^2 = \frac{a^2 \cdot L^2}{b^2} = \frac{a^2 (H^2 + \frac{a^2}{4})}{H^2 + \frac{a^2}{2}}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $AK^2$:

$\frac{2a^2}{3} = \frac{a^2 (H^2 + \frac{a^2}{4})}{H^2 + \frac{a^2}{2}}$

Сократим на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$\frac{2}{3} = \frac{H^2 + \frac{a^2}{4}}{H^2 + \frac{a^2}{2}}$

$2(H^2 + \frac{a^2}{2}) = 3(H^2 + \frac{a^2}{4})$

$2H^2 + a^2 = 3H^2 + \frac{3a^2}{4}$

$a^2 - \frac{3a^2}{4} = 3H^2 - 2H^2$

$\frac{a^2}{4} = H^2$

$a^2 = 4H^2 \implies a = 2H$

Подставим известное значение высоты $H = 6$ см:

$a = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь можем найти объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} \cdot 12^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 = 144 \cdot 2 = 288$ см$^3$.

Ответ: $288 \text{ см}^3$.