Номер 257, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

257. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

1. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, сторона основания $a = 4$ см. Найдём площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.

2. Высота пирамиды $H$ падает в центр основания $O$. Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой (высотой боковой грани, проведённой из вершины пирамиды) и её проекцией на плоскость основания. Проекцией апофемы является отрезок, соединяющий центр основания $O$ с серединой соответствующей стороны основания. Длина этого отрезка (назовём его $r$) равна половине стороны основания:

$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Высота пирамиды $H$, отрезок $r$ и апофема образуют прямоугольный треугольник, в котором $H$ и $r$ являются катетами. Угол между апофемой и её проекцией $r$ по условию равен $45^\circ$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можем найти высоту $H$:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r$.

$H = 2$ см.

3. Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{32}{3}$ см$^3$.