Номер 251, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = 8$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Боковое ребро $BB_1$ равно 8 см и образует с каждой из сторон $AB$ и $BC$ угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

251. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = 8$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Боковое ребро $BB_1$ равно 8 см и образует с каждой из сторон $AB$ и $BC$ угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является ромб $ABCD$ со стороной $AB = 8$ см и углом $\angle ABC = 60^\circ$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin\alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между смежными сторонами.

$S_{осн} = AB^2 \cdot \sin(\angle ABC) = 8^2 \cdot \sin(60^\circ) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту призмы.

Пусть $B_1O$ — высота призмы, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABCD$. Тогда $H = B_1O$. Отрезок $BO$ является проекцией бокового ребра $BB_1$ на плоскость основания.

По условию, боковое ребро $BB_1$ образует равные углы со сторонами $AB$ и $BC$ ($\angle B_1BA = \angle B_1BC = 45^\circ$). Это означает, что точка $B_1$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$. Следовательно, ее проекция — точка $O$ — также равноудалена от этих прямых и лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

В ромбе диагональ является биссектрисой его угла, поэтому точка $O$ лежит на диагонали $BD$. Угол между диагональю $BD$ и стороной $AB$ равен половине угла ромба: $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим нахождение длины проекции $BO$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OP$ к стороне $AB$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $B_1O \perp (ABC)$ и $OP \perp AB$, то и наклонная $B_1P \perp AB$.

Таким образом, $\triangle B_1PB$ — прямоугольный. Угол между ребром $BB_1$ и стороной $AB$ — это $\angle B_1BP = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle B_1PB$ найдем катет $BP$:

$BP = BB_1 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BPO$ в плоскости основания ($\angle BPO = 90^\circ$). Мы знаем катет $BP$ и угол $\angle PBO = \angle ABD = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $BO$:

$BO = \frac{BP}{\cos(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, из прямоугольного треугольника $\triangle B_1OB$ ($\angle B_1OB = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем высоту призмы $H = B_1O$:

$H^2 = B_1O^2 = BB_1^2 - BO^2 = 8^2 - \left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 64 - \frac{64 \cdot 6}{9} = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192 - 128}{3} = \frac{64}{3}$.

$H = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдем объем призмы.

$V = S_{осн} \cdot H = 32\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32 \cdot 8 \cdot (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{256 \cdot 3}{3} = 256$ см$^3$.

Ответ: $256$ см$^3$.