Номер 248, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом 120°. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём призмы.

248. Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом $120^\circ$. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объем призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: найти площадь основания и найти высоту призмы.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием призмы является равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны 6 см, а угол между ними составляет 120°. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

Подставим наши значения: $a = 6$ см, $b = 6$ см, $\gamma = 120°$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120°)$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты призмы ($H$)

Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $L$ и углом наклона ребра к плоскости основания $\alpha$. Боковое ребро, высота и проекция ребра на основание образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой, а высота — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Следовательно, высота вычисляется по формуле:

$H = L \cdot \sin(\alpha)$

По условию задачи, длина бокового ребра $L = 4$ см, а угол наклона $\alpha = 30°$.

Подставляем значения:

$H = 4 \cdot \sin(30°)$

Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$H = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

3. Вычисление объема призмы ($V$)

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot 2 = 18\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{3}$ см³.