Номер 245, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Объём правильной четырёхугольной призмы равен $V$. Найдите объём призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

245. Объём правильной четырёхугольной призмы равен $V$. Найдите объём призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат.

Пусть сторона квадрата, лежащего в основании данной призмы, равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Объём призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Площадь основания данной призмы (квадрата со стороной $a$) равна $S_1 = a^2$.
Тогда её объём, по условию равный $V$, составляет: $V = S_1 \cdot h = a^2h$.

Новая призма, согласно условию, имеет вершины в серединах сторон оснований данной призмы. Это означает, что высота новой призмы совпадает с высотой исходной и равна $h$. Основанием новой призмы является многоугольник, вершины которого — середины сторон квадрата, лежащего в основании исходной призмы.

Соединив последовательно середины сторон квадрата, мы получим новый квадрат. Чтобы найти его площадь $S_2$, можно из площади исходного квадрата $S_1$ вычесть площади четырёх равных прямоугольных треугольников, которые отсекаются по углам.

Каждый такой треугольник является равнобедренным, его катеты равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{a}{2}$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Так как таких треугольников четыре, их общая площадь составляет $4 \cdot \frac{a^2}{8} = \frac{a^2}{2}$.

Тогда площадь нового основания $S_2$ равна: $S_2 = S_1 - \frac{a^2}{2} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, площадь основания новой призмы в два раза меньше площади основания исходной призмы: $S_2 = \frac{S_1}{2}$.

Теперь найдем объём новой призмы $V_{нов}$, учитывая, что её высота также равна $h$: $V_{нов} = S_2 \cdot h = \frac{a^2}{2} \cdot h = \frac{1}{2} (a^2h)$.

Поскольку $V = a^2h$, то получаем: $V_{нов} = \frac{1}{2}V$.

Ответ: $\frac{V}{2}$