Номер 243, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Вариант 3. Упражнения - номер 243, страница 101.

Условие 2020.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 4 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Условие 2023.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 4 см, а острый угол — $60^{\circ}$. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите объём призмы.

Решение.

Решение 2 (2023).

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковую сторону как $c$. По условию $c = 4$ см, а острый угол при основании $\alpha = 60°$.

Свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $a + b = c + c = 2c$.

$a + b = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Площадь трапеции находится по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.Найдем высоту $h$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из катетов — высота $h$. Угол между боковой стороной и основанием равен $60°$.

$h = c \cdot \sin(\alpha) = 4 \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту призмы $H$.

Диагональ призмы, её проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $45°$. В этом прямоугольном треугольнике:

$\tan(45°) = \frac{H}{d}$

Поскольку $\tan(45°) = 1$, то $H = d$. Высота призмы равна диагонали её основания.

Найдем диагональ основания $d$. Рассмотрим трапецию. Проведем в ней высоту из вершины тупого угла. Эта высота отсекает на большем основании отрезок, равный $\frac{a-b}{2}$. Тогда проекция диагонали на большее основание будет равна $a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a - a + b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Проекция диагонали: $\frac{a+b}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем квадрат диагонали трапеции, используя высоту трапеции $h$ и проекцию диагонали:

$d^2 = h^2 + \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 = 4 \cdot 3 + 16 = 12 + 16 = 28$.

$d = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Так как $H = d$, то высота призмы $H = 2\sqrt{7}$ см.

3. Найдем объём призмы.

$V = S_{осн} \cdot H = 8\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{7} = 16\sqrt{21}$ см³.

Ответ: $16\sqrt{21}$ см³.