Номер 242, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом $30^\circ$. Объем призмы равен $48\sqrt{3}$ см$^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 30°. Объём призмы равен $48\sqrt{3}$ см³. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, $c=8$ см, а один из острых углов равен $30^\circ$.

1. Найдём катеты основания.
Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Пусть это будет катет $a$:
$a = c \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Второй катет $b$ найдем, используя косинус того же угла:
$b = c \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдём высоту призмы ($h$).
Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Нам известен объём $V = 48\sqrt{3}$ см$^3$. Выразим и найдём высоту:
$h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 6$ см.

4. Найдём площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$).
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).
Сначала вычислим периметр основания:
$P_{осн} = a + b + c = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$ см.
Теперь найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (12 + 4\sqrt{3}) \cdot 6 = 72 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $72 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.