Номер 236, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Боковая грань правильной шестиугольной призмы является квадратом, диагональ которого равна $6\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

236. Боковая грань правильной шестиугольной призмы является квадратом, диагональ которого равна $6\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

Объём призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Нахождение стороны основания и высоты призмы

Согласно условию, боковая грань правильной шестиугольной призмы представляет собой квадрат. Диагональ этого квадрата $d$ равна $6\sqrt{2}$ см.Пусть сторона квадрата равна $a$. Связь между диагональю и стороной квадрата выражается формулой $d = a\sqrt{2}$.

Подставим в формулу данное значение диагонали:$a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Из этого уравнения находим сторону квадрата:$a = 6$ см.

Так как боковая грань является квадратом, её стороны равны. Одна сторона этого квадрата является стороной основания призмы, а другая — её высотой. Следовательно, сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 6$ см, и высота призмы $h$ также равна $6$ см.

2. Вычисление площади основания призмы

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим значение стороны $a = 6$ см в формулу:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 3\sqrt{3} \cdot 18 = 54\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление объёма призмы

Теперь, имея площадь основания $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ см² и высоту $h = 6$ см, мы можем рассчитать объём призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 54\sqrt{3} \cdot 6 = 324\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $324\sqrt{3}$ см³.