Номер 230, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Образующая усечённого конуса равна 12 см и наклонена к плоскости большего основания под углом 60°. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

230. Образующая усечённого конуса равна 12 см и наклонена к плоскости большего основания под углом 60°.

В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность (сечение вписанного шара). Боковая сторона трапеции равна образующей конуса $l=12$ см, а угол при большем основании равен углу наклона образующей к плоскости основания, то есть $\alpha=60°$. Высота трапеции $H$ равна высоте конуса и диаметру вписанного шара.

Радиус шара

Проведём высоту трапеции из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это образующая $l$, один из катетов — высота конуса $H$, а угол, противолежащий этому катету, равен $\alpha=60°$.

Высоту усечённого конуса $H$ можно найти из этого треугольника:$H = l \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как шар вписан в усечённый конус, его диаметр равен высоте конуса. Пусть $R_{ш}$ — радиус шара, тогда:$2R_{ш} = H$$R_{ш} = \frac{H}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус шара равен $3\sqrt{3}$ см.

Радиусы оснований усечённого конуса

Поскольку в усечённый конус можно вписать шар, его осевое сечение (равнобедренная трапеция) является описанным четырёхугольником. Для описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны. Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно. Тогда основания трапеции равны $2R$ и $2r$, а боковые стороны равны $l=12$ см.Следовательно:$2R + 2r = l + l$$2(R + r) = 2l$$R + r = l = 12$ см.

Теперь найдём разность радиусов. Второй катет в прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, равен разности радиусов оснований $R-r$:$R - r = l \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:$ \begin{cases} R + r = 12 \\ R - r = 6 \end{cases} $Сложим два уравнения:$(R + r) + (R - r) = 12 + 6$$2R = 18$$R = 9$ см.Подставим значение $R$ в первое уравнение:$9 + r = 12$$r = 3$ см.

Ответ: радиусы оснований усечённого конуса равны 9 см и 3 см.