Номер 225, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

225. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, а сечение шара — круг, вписанный в этот треугольник. Радиус этого круга равен радиусу вписанного в конус шара.

Обозначим образующую конуса как $l$, его высоту как $h$, радиус основания конуса как $R$ и искомый радиус вписанного шара как $r$. По условию дано: $l = 15$ см, $h = 12$ см.

Сначала найдем радиус основания конуса $R$. Высота $h$, радиус $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + R^2$

Отсюда выразим и вычислим $R$:

$R = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара $r$. Рассмотрим осевое сечение. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $A$ — точка на окружности основания. Тогда $\triangle SOA$ — это прямоугольный треугольник с катетами $SO=h=12$ см, $OA=R=9$ см и гипотенузой $SA=l=15$ см.

Центр вписанного шара, обозначим его $O_1$, лежит на высоте $SO$. Пусть $K$ — точка касания шара с образующей $SA$. Радиус шара $O_1K = r$ перпендикулярен образующей $SA$. Таким образом, $\triangle SKO_1$ является прямоугольным.

Треугольники $\triangle SOA$ и $\triangle SKO_1$ подобны по общему острому углу ($\angle ASO$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{OA}{O_1K} = \frac{SA}{SO_1}$

Подставим известные значения и выражения через $r$: $OA = R = 9$ см, $O_1K = r$, $SA = l = 15$ см, $SO_1 = SO - O_1O = h - r = 12 - r$.

Получаем пропорцию:

$\frac{9}{r} = \frac{15}{12 - r}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$9 \cdot (12 - r) = 15 \cdot r$

$108 - 9r = 15r$

$108 = 15r + 9r$

$108 = 24r$

$r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.