Номер 228, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Диаметр основания конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

228. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Диаметр ос-нования конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанного шара. Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$, а радиус вписанного шара как $r$. Площадь осевого сечения $S$ вычисляется по формуле $S = R \cdot H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$, основанием $BC$ (диаметр основания конуса) и высотой $AH = H$. Центр вписанного шара, точка $O$, лежит на высоте $AH$. Расстояние от центра шара до основания конуса равно радиусу шара, то есть $OH = r$. Радиус основания конуса равен половине его диаметра: $R = HC = \frac{BC}{2}$.

Согласно условию задачи, диаметр основания конуса $BC$ виден из центра вписанного шара $O$ под углом $\alpha$. Это означает, что $\angle BOC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Он является равнобедренным, так как $OB=OC$. Высота $OH$ в этом треугольнике также является медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $OHC$ — прямоугольный, а угол $\angle HOC$ равен половине угла $\angle BOC$: $\angle HOC = \frac{\alpha}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $OHC$ мы можем связать катеты $OH = r$ и $HC = R$ через тангенс угла $\angle HOC$:
$\tan(\angle HOC) = \frac{HC}{OH}$
Подставив известные значения, получаем:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{r}$
Из этого соотношения выражаем радиус основания конуса $R$:
$R = r \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Далее найдем высоту конуса $H$. Точка $O$, как центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, является точкой пересечения его биссектрис. Таким образом, отрезок $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB$.
В прямоугольном треугольнике $OHC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle OCH = 90^\circ - \angle HOC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
Поскольку $CO$ — биссектриса угла $\angle HCA$, то $\angle HCA$ в два раза больше $\angle OCH$:
$\angle HCA = 2 \cdot \angle OCH = 2 \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 180^\circ - \alpha$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нем катеты $AH = H$ и $HC = R$ связаны через тангенс угла $\angle HCA$:
$\tan(\angle HCA) = \frac{AH}{HC}$
$\tan(180^\circ - \alpha) = \frac{H}{R}$
Используя тригонометрическую формулу приведения $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$, получаем:
$-\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$
Отсюда выражаем высоту конуса $H$:
$H = -R \tan(\alpha)$
(Для того чтобы высота $H$ была положительной величиной, необходимо, чтобы $\tan(\alpha)$ был отрицательным, что выполняется при $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это условие является необходимым для существования данной геометрической конфигурации).

Наконец, вычисляем площадь осевого сечения $S$:
$S = R \cdot H = R \cdot (-R \tan(\alpha)) = -R^2 \tan(\alpha)$
Подставляем в эту формулу ранее найденное выражение для $R$:
$S = -\left(r \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \tan(\alpha) = -r^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

Ответ: $S = -r^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$