Номер 235, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

235. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
Основанием призмы является ромб с диагоналями $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96$ см².

2. Найдем высоту призмы.
Призма прямая, следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а высота $H$ равна длине бокового ребра.Диагональ боковой грани, боковое ребро (высота $H$) и сторона основания (сторона ромба $a$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией, то есть стороной ромба $a$. По условию, этот угол равен 45°.

Так как в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, то этот треугольник равнобедренный. Его катеты (высота призмы $H$ и сторона ромба $a$) равны: $H = a$.

Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны половинам диагоналей, а гипотенуза — стороне ромба $a$.
Катеты равны $\frac{12}{2} = 6$ см и $\frac{16}{2} = 8$ см.
По теореме Пифагора:
$a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$a = \sqrt{100} = 10$ см.

Поскольку $H = a$, то высота призмы $H = 10$ см.

3. Найдем объем призмы.
Теперь можем вычислить объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = 96 \cdot 10 = 960$ см³.

Ответ: 960 см³.