Номер 232, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Прямая, проходящая через центр шара и точку окружности большего основания усечённого конуса, образует с плоскостью этого основания угол $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Прямая, проходящая через центр шара и точку окружности большего основания усечённого конуса, образует с плоскостью этого основания угол $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$, являющаяся сечением вписанного шара.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $r_1$ и $r_2$, где $r_1$ — радиус большего основания, а $r_2$ — радиус меньшего. Тогда основания трапеции равны $2r_1$ и $2r_2$. Высота усечённого конуса, а следовательно, и высота трапеции $h$, равна диаметру вписанного шара, то есть $h = 2R$.

Пусть $O$ — центр вписанного шара, который лежит на оси конуса. Пусть $O_1$ — центр большего основания конуса, а $A$ — точка на окружности этого основания. По условию задачи, прямая, проходящая через центр шара и точку на окружности большего основания (прямая $OA$), образует с плоскостью этого основания угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO_1$, где $OO_1$ — перпендикуляр из центра шара на плоскость большего основания, а $O_1A$ — проекция прямой $OA$ на эту плоскость. В этом треугольнике:

• Катет $OO_1$ равен расстоянию от центра шара до основания, что равно радиусу шара: $OO_1 = R$.
• Катет $O_1A$ равен радиусу большего основания: $O_1A = r_1$.
• Угол $\angle OAO_1 = \alpha$ по условию.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\alpha) = \frac{OO_1}{O_1A} = \frac{R}{r_1}$Отсюда находим радиус большего основания:$r_1 = \frac{R}{\tan(\alpha)} = R \cot(\alpha)$

Для усечённого конуса, в который можно вписать шар, выполняется свойство: квадрат высоты равен учетверённому произведению радиусов оснований. Это следует из свойства описанной трапеции. Если $l$ — образующая конуса, то для осевого сечения (трапеции) $l = r_1 + r_2$. Из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $(r_1-r_2)$ и гипотенузой $l$ по теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$Подставляя $l = r_1 + r_2$ и $h=2R$:$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1 - r_2)^2$$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$$4r_1r_2 = 4R^2$$r_1r_2 = R^2$

Теперь мы можем найти радиус меньшего основания $r_2$:$r_2 = \frac{R^2}{r_1} = \frac{R^2}{R \cot(\alpha)} = R \tan(\alpha)$

Площадь осевого сечения $S$ — это площадь равнобокой трапеции, которая вычисляется по формуле:$S = \frac{2r_1 + 2r_2}{2} \cdot h = (r_1 + r_2)h$Подставим найденные значения $r_1$, $r_2$ и $h$:$S = (R \cot(\alpha) + R \tan(\alpha)) \cdot 2R = 2R^2(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))$Упростим выражение в скобках:$\cot(\alpha) + \tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:$\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{2}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$Подставим это в формулу для площади:$S = 2R^2 \cdot \frac{2}{\sin(2\alpha)} = \frac{4R^2}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{4R^2}{\sin(2\alpha)}$