Страница 100 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, если площадь его основания равна $25\pi \text{ см}^2$.

224. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, если площадь его основания равна $25\pi \text{ см}^2$.

Пусть $R_{шара}$ — это искомый радиус шара, а $R_{цил}$ — это радиус основания цилиндра.

По определению, шар, вписанный в цилиндр, касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Из этого следует, что радиус вписанного шара равен радиусу основания цилиндра.

$R_{шара} = R_{цил}$

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ является площадью круга и вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R_{цил}^2$

Согласно условию задачи, площадь основания цилиндра равна $25\pi$ см². Мы можем составить уравнение:

$\pi R_{цил}^2 = 25\pi$

Чтобы найти $R_{цил}$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$R_{цил}^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень. Поскольку радиус является положительной величиной, нас интересует только арифметический корень:

$R_{цил} = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как радиус шара, вписанного в цилиндр, равен радиусу основания этого цилиндра, то:

$R_{шара} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

225. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

225. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, а сечение шара — круг, вписанный в этот треугольник. Радиус этого круга равен радиусу вписанного в конус шара.

Обозначим образующую конуса как $l$, его высоту как $h$, радиус основания конуса как $R$ и искомый радиус вписанного шара как $r$. По условию дано: $l = 15$ см, $h = 12$ см.

Сначала найдем радиус основания конуса $R$. Высота $h$, радиус $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + R^2$

Отсюда выразим и вычислим $R$:

$R = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара $r$. Рассмотрим осевое сечение. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $A$ — точка на окружности основания. Тогда $\triangle SOA$ — это прямоугольный треугольник с катетами $SO=h=12$ см, $OA=R=9$ см и гипотенузой $SA=l=15$ см.

Центр вписанного шара, обозначим его $O_1$, лежит на высоте $SO$. Пусть $K$ — точка касания шара с образующей $SA$. Радиус шара $O_1K = r$ перпендикулярен образующей $SA$. Таким образом, $\triangle SKO_1$ является прямоугольным.

Треугольники $\triangle SOA$ и $\triangle SKO_1$ подобны по общему острому углу ($\angle ASO$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{OA}{O_1K} = \frac{SA}{SO_1}$

Подставим известные значения и выражения через $r$: $OA = R = 9$ см, $O_1K = r$, $SA = l = 15$ см, $SO_1 = SO - O_1O = h - r = 12 - r$.

Получаем пропорцию:

$\frac{9}{r} = \frac{15}{12 - r}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$9 \cdot (12 - r) = 15 \cdot r$

$108 - 9r = 15r$

$108 = 15r + 9r$

$108 = 24r$

$r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

226. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

226. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $a$, а угол при вершине равен $\alpha$. Шар, вписанный в конус, в этом сечении будет представлять собой круг, вписанный в данный равнобедренный треугольник. Площадь большого круга шара равна площади этого вписанного круга.

Пусть осевое сечение — это треугольник $PAB$ с вершиной $P$, где $PA = PB = a$ и $\angle APB = \alpha$. Пусть $O$ — центр вписанного шара (и вписанного в треугольник $PAB$ круга), а $r$ — его радиус. Центр $O$ лежит на высоте (которая также является биссектрисой и медианой) $PC$ треугольника $PAB$, где $C$ - центр основания конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PCA$. В этом треугольнике гипотенуза $PA = a$ (образующая конуса), а угол $\angle APC = \frac{\alpha}{2}$, так как высота $PC$ является биссектрисой угла $\alpha$. Катет $AC$ — это радиус основания конуса $R$. Найдем $R$:

$R = AC = PA \cdot \sin(\angle APC) = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. В нем катет $OC$ равен радиусу вписанного шара $r$, а катет $AC=R$. Угол $\angle PAC$ в треугольнике $PCA$ равен $90^\circ - \angle APC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Линия $AO$ является биссектрисой угла $PAC$, поэтому $\angle OAC = \frac{1}{2}\angle PAC = \frac{1}{2}\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

В прямоугольном треугольнике $OAC$ тангенс угла $\angle OAC$ равен отношению противолежащего катета $OC$ к прилежащему катету $AC$:

$\tan(\angle OAC) = \frac{OC}{AC} \Rightarrow \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = \frac{r}{R}$

Отсюда выразим радиус вписанного шара $r$:

$r = R \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Площадь большого круга вписанного шара вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное выражение для $r$:

$S = \pi \left( a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) \right)^2 = \pi a^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой $\tan^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}$. Применим ее для $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$, тогда $2x = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$:

$\tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\right)}{1 + \cos\left(2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\right)} = \frac{1 - \cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1 - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

Подставим это упрощенное выражение в формулу для площади:

$S = \pi a^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{1 - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

Ответ: $S = \pi a^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{1 - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

227. Центр шара, вписанного в конус, делит его высоту на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

227. Центр шара, вписанного в конус, делит его высоту на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — круг, вписанный в этот треугольник. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, а центр вписанного шара совпадает с центром вписанного круга.

Пусть $V$ — вершина конуса, $O_c$ — центр его основания, тогда $H = VO_c$ — высота конуса. Центр вписанного шара $O_ш$ лежит на высоте $VO_c$. По условию, точка $O_ш$ делит высоту на отрезки длиной 34 см и 16 см. Таким образом, высота конуса $H$ равна сумме длин этих отрезков: $H = 34 + 16 = 50$ см.

Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от его центра $O_ш$ до основания конуса. Следовательно, $r = O_шO_c$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса, высотой и радиусом шара. Пусть $K$ — точка касания шара с образующей конуса. Тогда треугольник $VO_шK$ является прямоугольным (с прямым углом при вершине $K$), где $VO_ш$ — гипотенуза, а $O_шK = r$ — катет. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее катета, поэтому должно выполняться неравенство $VO_ш > r$.

У нас есть два отрезка: $VO_ш$ (расстояние от вершины конуса до центра шара) и $O_шO_c = r$ (радиус шара). Их длины — 34 см и 16 см. Исходя из неравенства $VO_ш > r$, мы можем однозначно определить: $VO_ш = 34$ см, $r = 16$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$ и его образующую $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VO_cA$, где $A$ — точка на окружности основания. $VO_c = H = 50$ см, $O_cA = R$, $VA = L$. Рассмотрим также прямоугольный треугольник $\triangle VO_шK$. Треугольники $\triangle VO_cA$ и $\triangle VO_шK$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине $V$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{R}{r} = \frac{L}{VO_ш} $ Подставим известные значения: $ \frac{R}{16} = \frac{L}{34} $ Отсюда выразим $R$ через $L$: $ R = \frac{16}{34}L = \frac{8}{17}L $

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle VO_cA$: $ L^2 = H^2 + R^2 $ Подставим известные значения $H$ и выражение для $R$: $ L^2 = 50^2 + (\frac{8}{17}L)^2 $ $ L^2 = 2500 + \frac{64}{289}L^2 $ $ L^2 - \frac{64}{289}L^2 = 2500 $ $ L^2(1 - \frac{64}{289}) = 2500 $ $ L^2(\frac{289-64}{289}) = 2500 $ $ L^2 \cdot \frac{225}{289} = 2500 $ $ L^2 = 2500 \cdot \frac{289}{225} $ $ L = \sqrt{2500 \cdot \frac{289}{225}} = 50 \cdot \frac{17}{15} = \frac{10 \cdot 17}{3} = \frac{170}{3} $ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$: $ R = \frac{8}{17}L = \frac{8}{17} \cdot \frac{170}{3} = \frac{8 \cdot 10}{3} = \frac{80}{3} $ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $ S_{бок} = \pi R L $ Подставим найденные значения $R$ и $L$: $ S_{бок} = \pi \cdot \frac{80}{3} \cdot \frac{170}{3} = \frac{13600}{9}\pi $ см².

Ответ: $ \frac{13600}{9}\pi $ см².

228. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Диаметр основания конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

228. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Диаметр ос-нования конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанного шара. Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$, а радиус вписанного шара как $r$. Площадь осевого сечения $S$ вычисляется по формуле $S = R \cdot H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$, основанием $BC$ (диаметр основания конуса) и высотой $AH = H$. Центр вписанного шара, точка $O$, лежит на высоте $AH$. Расстояние от центра шара до основания конуса равно радиусу шара, то есть $OH = r$. Радиус основания конуса равен половине его диаметра: $R = HC = \frac{BC}{2}$.

Согласно условию задачи, диаметр основания конуса $BC$ виден из центра вписанного шара $O$ под углом $\alpha$. Это означает, что $\angle BOC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Он является равнобедренным, так как $OB=OC$. Высота $OH$ в этом треугольнике также является медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $OHC$ — прямоугольный, а угол $\angle HOC$ равен половине угла $\angle BOC$: $\angle HOC = \frac{\alpha}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $OHC$ мы можем связать катеты $OH = r$ и $HC = R$ через тангенс угла $\angle HOC$:
$\tan(\angle HOC) = \frac{HC}{OH}$
Подставив известные значения, получаем:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{r}$
Из этого соотношения выражаем радиус основания конуса $R$:
$R = r \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Далее найдем высоту конуса $H$. Точка $O$, как центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, является точкой пересечения его биссектрис. Таким образом, отрезок $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB$.
В прямоугольном треугольнике $OHC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle OCH = 90^\circ - \angle HOC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
Поскольку $CO$ — биссектриса угла $\angle HCA$, то $\angle HCA$ в два раза больше $\angle OCH$:
$\angle HCA = 2 \cdot \angle OCH = 2 \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 180^\circ - \alpha$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нем катеты $AH = H$ и $HC = R$ связаны через тангенс угла $\angle HCA$:
$\tan(\angle HCA) = \frac{AH}{HC}$
$\tan(180^\circ - \alpha) = \frac{H}{R}$
Используя тригонометрическую формулу приведения $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$, получаем:
$-\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$
Отсюда выражаем высоту конуса $H$:
$H = -R \tan(\alpha)$
(Для того чтобы высота $H$ была положительной величиной, необходимо, чтобы $\tan(\alpha)$ был отрицательным, что выполняется при $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это условие является необходимым для существования данной геометрической конфигурации).

Наконец, вычисляем площадь осевого сечения $S$:
$S = R \cdot H = R \cdot (-R \tan(\alpha)) = -R^2 \tan(\alpha)$
Подставляем в эту формулу ранее найденное выражение для $R$:
$S = -\left(r \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \tan(\alpha) = -r^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

Ответ: $S = -r^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$

229. В конус, радиус основания которого равен 1 см, вписана сфера. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $45^\circ$. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

229. В конус, радиус основания которого равен 1 см, вписана сфера. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 45°. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — окружность, вписанная в этот треугольник.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания. Тогда $SO$ — высота конуса $H$, $OA$ — радиус основания $R$, а $SA$ — образующая $L$. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол $\angle SAO$.

По условию, радиус основания конуса $R = 1$ см и угол между образующей и плоскостью основания $\angle SAO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Так как $\angle SAO = 45°$ и $\angle SOA = 90°$, то треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H = SO = OA = R = 1$ см. Угол при вершине конуса $\angle ASO$ также равен $45°$.

Линия, по которой сфера касается боковой поверхности конуса, представляет собой окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Найдём радиус этой окружности, обозначим его $R_к$.

Центр вписанной сферы $O'$ лежит на оси конуса $SO$. Пусть $r$ — радиус вписанной сферы. Проведем радиус $O'K$ из центра сферы к точке касания $K$ на образующей $SA$. Отрезок $O'K$ перпендикулярен образующей $SA$, и его длина равна $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SO'K$. В нем $O'K = r$, а гипотенуза $SO' = SO - O'O = H - r = 1 - r$. Угол $\angle KSO$ равен углу $\angle ASO$, который, как мы нашли, равен $45°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SO'K$ имеем: $\sin(\angle KSO) = \frac{O'K}{SO'} = \frac{r}{1-r}$

Подставляем значение угла: $\sin(45°) = \frac{r}{1-r}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{1-r}$

Решим это уравнение относительно $r$: $\sqrt{2}(1-r) = 2r$ $\sqrt{2} - r\sqrt{2} = 2r$ $\sqrt{2} = r(2+\sqrt{2})$ $r = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \sqrt{2}-1$ см.

Радиус $R_к$ окружности касания — это расстояние от точки касания $K$ на образующей до оси конуса $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $K$, её проекцией на ось $SO$ и вершиной $S$. В этом треугольнике $R_к$ является катетом, противолежащим углу $\angle KSO = 45°$. Гипотенузой является отрезок $SK$.

Найдем длину отрезка $SK$ из треугольника $\triangle SO'K$: $SK = \sqrt{(SO')^2 - (O'K)^2}$ $SO' = 1 - r = 1 - (\sqrt{2}-1) = 2 - \sqrt{2}$ $SK = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{(4 - 4\sqrt{2} + 2) - (2 - 2\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ Заметим, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$. $SK = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$ см.

Теперь можем найти радиус окружности касания $R_к$: $R_к = SK \cdot \sin(\angle KSO) = (\sqrt{2}-1) \cdot \sin(45°) = (\sqrt{2}-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Искомая длина линии касания — это длина окружности с радиусом $R_к$: $C = 2\pi R_к = 2\pi \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi(2-\sqrt{2})$ см.

Ответ: $ \pi (2 - \sqrt{2}) $ см.

230. Образующая усечённого конуса равна 12 см и наклонена к плоскости большего основания под углом 60°. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

230. Образующая усечённого конуса равна 12 см и наклонена к плоскости большего основания под углом 60°.

В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность (сечение вписанного шара). Боковая сторона трапеции равна образующей конуса $l=12$ см, а угол при большем основании равен углу наклона образующей к плоскости основания, то есть $\alpha=60°$. Высота трапеции $H$ равна высоте конуса и диаметру вписанного шара.

Радиус шара

Проведём высоту трапеции из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это образующая $l$, один из катетов — высота конуса $H$, а угол, противолежащий этому катету, равен $\alpha=60°$.

Высоту усечённого конуса $H$ можно найти из этого треугольника:$H = l \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как шар вписан в усечённый конус, его диаметр равен высоте конуса. Пусть $R_{ш}$ — радиус шара, тогда:$2R_{ш} = H$$R_{ш} = \frac{H}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус шара равен $3\sqrt{3}$ см.

Радиусы оснований усечённого конуса

Поскольку в усечённый конус можно вписать шар, его осевое сечение (равнобедренная трапеция) является описанным четырёхугольником. Для описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны. Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно. Тогда основания трапеции равны $2R$ и $2r$, а боковые стороны равны $l=12$ см.Следовательно:$2R + 2r = l + l$$2(R + r) = 2l$$R + r = l = 12$ см.

Теперь найдём разность радиусов. Второй катет в прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, равен разности радиусов оснований $R-r$:$R - r = l \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:$ \begin{cases} R + r = 12 \\ R - r = 6 \end{cases} $Сложим два уравнения:$(R + r) + (R - r) = 12 + 6$$2R = 18$$R = 9$ см.Подставим значение $R$ в первое уравнение:$9 + r = 12$$r = 3$ см.

Ответ: радиусы оснований усечённого конуса равны 9 см и 3 см.

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 12 см, а образующая усечённого конуса — 25 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

231. Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен 12 см, а образующая усечённого конуса — 25 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ – длина образующей.

В условии даны:

• Радиус вписанного шара $r_{шара} = 12$ см.
• Образующая усечённого конуса $l = 25$ см.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность (большой круг вписанного шара).

Для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность, существует свойство: суммы длин его противоположных сторон равны. В нашем случае, для равнобедренной трапеции, которая является осевым сечением, основаниями служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковыми сторонами – образующие ($l$).

Применяя это свойство, получаем:Сумма оснований = Сумма боковых сторон$2R + 2r = l + l$$2(R+r) = 2l$Отсюда следует важное соотношение:$R+r = l$

Так как по условию образующая $l = 25$ см, то сумма радиусов оснований конуса также равна 25 см:$R+r = 25$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усечённого конуса, подставив известные значения в формулу:$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi \cdot 25 \cdot 25 = 625\pi \text{ см}^2$.

Заметим, что радиус вписанного шара ($r_{шара} = 12$ см) не потребовался для прямого вычисления, но он гарантирует, что в данный усеченный конус можно вписать шар. Высота такого конуса $h$ равна диаметру вписанного шара, т.е. $h = 2 \cdot 12 = 24$ см. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, образующей и разностью радиусов, по теореме Пифагора имеем $l^2 = h^2 + (R-r)^2$, то есть $25^2 = 24^2 + (R-r)^2$, что является верным равенством ($625 = 576 + 49$).

Ответ: $625\pi \text{ см}^2$.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Прямая, проходящая через центр шара и точку окружности большего основания усечённого конуса, образует с плоскостью этого основания угол $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Прямая, проходящая через центр шара и точку окружности большего основания усечённого конуса, образует с плоскостью этого основания угол $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$, являющаяся сечением вписанного шара.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $r_1$ и $r_2$, где $r_1$ — радиус большего основания, а $r_2$ — радиус меньшего. Тогда основания трапеции равны $2r_1$ и $2r_2$. Высота усечённого конуса, а следовательно, и высота трапеции $h$, равна диаметру вписанного шара, то есть $h = 2R$.

Пусть $O$ — центр вписанного шара, который лежит на оси конуса. Пусть $O_1$ — центр большего основания конуса, а $A$ — точка на окружности этого основания. По условию задачи, прямая, проходящая через центр шара и точку на окружности большего основания (прямая $OA$), образует с плоскостью этого основания угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO_1$, где $OO_1$ — перпендикуляр из центра шара на плоскость большего основания, а $O_1A$ — проекция прямой $OA$ на эту плоскость. В этом треугольнике:

• Катет $OO_1$ равен расстоянию от центра шара до основания, что равно радиусу шара: $OO_1 = R$.
• Катет $O_1A$ равен радиусу большего основания: $O_1A = r_1$.
• Угол $\angle OAO_1 = \alpha$ по условию.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\alpha) = \frac{OO_1}{O_1A} = \frac{R}{r_1}$Отсюда находим радиус большего основания:$r_1 = \frac{R}{\tan(\alpha)} = R \cot(\alpha)$

Для усечённого конуса, в который можно вписать шар, выполняется свойство: квадрат высоты равен учетверённому произведению радиусов оснований. Это следует из свойства описанной трапеции. Если $l$ — образующая конуса, то для осевого сечения (трапеции) $l = r_1 + r_2$. Из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $(r_1-r_2)$ и гипотенузой $l$ по теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$Подставляя $l = r_1 + r_2$ и $h=2R$:$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1 - r_2)^2$$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$$4r_1r_2 = 4R^2$$r_1r_2 = R^2$

Теперь мы можем найти радиус меньшего основания $r_2$:$r_2 = \frac{R^2}{r_1} = \frac{R^2}{R \cot(\alpha)} = R \tan(\alpha)$

Площадь осевого сечения $S$ — это площадь равнобокой трапеции, которая вычисляется по формуле:$S = \frac{2r_1 + 2r_2}{2} \cdot h = (r_1 + r_2)h$Подставим найденные значения $r_1$, $r_2$ и $h$:$S = (R \cot(\alpha) + R \tan(\alpha)) \cdot 2R = 2R^2(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))$Упростим выражение в скобках:$\cot(\alpha) + \tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:$\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{2}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$Подставим это в формулу для площади:$S = 2R^2 \cdot \frac{2}{\sin(2\alpha)} = \frac{4R^2}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{4R^2}{\sin(2\alpha)}$

233. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 10 см, а острый угол основания — $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

233. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 10 см, а острый угол основания — $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

По условию задачи, каждое ребро параллелепипеда равно 10 см. Так как параллелепипед прямой, его боковые рёбра перпендикулярны основанию, а значит, высота $h$ равна длине бокового ребра. Таким образом, $h = 10$ см.

В основании лежит параллелограмм, у которого все стороны равны 10 см, то есть ромб. Стороны этого ромба $a = 10$ см, а острый угол между ними, по условию, составляет $\alpha = 45^\circ$.

Площадь основания (ромба) можно найти по формуле площади параллелограмма через две стороны и угол между ними:
$S_{осн} = a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = a^2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:
$S_{осн} = 10^2 \cdot \sin(45^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 50\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объём параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 50\sqrt{2} \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 500\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $500\sqrt{2}$ см$^3$.