Страница 99 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Высота цилиндра образует с диагональю его осевого сечения угол $\alpha$, а радиус основания цилиндра равен $R$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

215. Высота цилиндра образует с диагональю его осевого сечения угол $\alpha$, а радиус основания цилиндра равен $R$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

Обозначим высоту цилиндра как $H$, радиус основания как $R$, а диагональ осевого сечения как $d$. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $H$ и $2R$. Диагональ $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $H$ и диаметр основания $2R$.

По условию, угол между высотой цилиндра $H$ и диагональю осевого сечения $d$ равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $H$, $2R$ и $d$, катет $2R$ является противолежащим углу $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{2R}{d}$

Отсюда можно выразить диагональ осевого сечения:

$d = \frac{2R}{\sin\alpha}$

Шар, описанный около цилиндра, имеет тот же центр, что и цилиндр (середина высоты). Диагональ осевого сечения цилиндра $d$ является диаметром этого шара. Следовательно, радиус описанного шара $R_{шара}$ равен половине диагонали $d$.

$R_{шара} = \frac{d}{2}$

Подставим найденное выражение для $d$:

$R_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2R}{\sin\alpha} = \frac{R}{\sin\alpha}$

Ответ: $\frac{R}{\sin\alpha}$

216. В шар, радиус которого равен 7 см, вписан цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

216. В шар, радиус которого равен $7 \text{ см}$, вписан цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус шара как $R$, радиус основания вписанного цилиндра как $r$, а его высоту как $H$.

Из условия задачи нам известно:
1. Радиус шара $R = 7$ см.
2. Высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $H = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр шара и ось цилиндра. Сечением шара будет большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $H$ и $2r$. Так как цилиндр вписан в шар, вершины этого прямоугольника лежат на окружности большого круга.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{H}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Подставим в это уравнение данные из условия. Мы знаем, что $R = 7$ и $H = 2r$, следовательно, $\frac{H}{2} = \frac{2r}{2} = r$.
$7^2 = r^2 + r^2$
$49 = 2r^2$
Отсюда получаем:
$r^2 = \frac{49}{2}$

Нам нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра, которая вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r H$

Снова используем соотношение $H = 2r$ для преобразования формулы площади:
$S_{бок} = 2 \pi r (2r) = 4 \pi r^2$

Теперь подставим найденное значение $r^2 = \frac{49}{2}$ в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \pi \cdot \frac{49}{2} = 2 \cdot 49 \pi = 98 \pi$

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна $98 \pi$ см$^2$.

Ответ: $98 \pi$ см$^2$.

217. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости его основания под углом 30°. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

217. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости его основания под углом $30^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность (большой круг шара). Радиус этой окружности $R$ и является искомым радиусом шара.

Из условия задачи нам известны:
- Образующая конуса $l = 12$ см, которая является боковой стороной равнобедренного треугольника в осевом сечении.
- Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30°$, который является углом при основании этого треугольника.

Для нахождения радиуса $R$ описанной около треугольника окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ($2R$).

В нашем случае, сторона треугольника — это образующая $l = 12$ см, а противолежащий ей угол — это угол при основании, равный $\alpha = 30°$.
Запишем формулу:
$\frac{l}{\sin(\alpha)} = 2R$

Подставим известные значения в формулу:
$2R = \frac{12}{\sin(30°)}$

Так как значение синуса 30° равно $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, то:
$2R = \frac{12}{1/2} = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Отсюда находим радиус описанного шара $R$:
$R = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

218. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая – 17 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

218. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая — 17 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, а $h$ — высота. По условию задачи $r = 8$ см и $l = 17$ см. Шар, описанный около конуса, имеет центр, который лежит на оси конуса.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность большого круга шара. Радиус этой окружности, обозначим его $R$, и является искомым радиусом шара.

Сначала найдем высоту конуса $h$. Высота, радиус основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$ Подставим известные значения: $h^2 + 8^2 = 17^2$ $h^2 + 64 = 289$ $h^2 = 289 - 64 = 225$ $h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем радиус шара $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр шара, центр основания конуса и любая точка на окружности основания конуса. Гипотенузой этого треугольника является радиус шара $R$. Один катет — это радиус основания конуса $r = 8$ см. Другой катет — это расстояние от центра шара до плоскости основания конуса. Поскольку центр шара лежит на высоте конуса, это расстояние равно $|h - R|$.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: $R^2 = r^2 + (h - R)^2$ Подставим известные значения $r=8$ и $h=15$: $R^2 = 8^2 + (15 - R)^2$ $R^2 = 64 + 225 - 30R + R^2$ Упростим уравнение, сократив $R^2$ с обеих сторон: $0 = 289 - 30R$ $30R = 289$ $R = \frac{289}{30}$ см.

Ответ: $\frac{289}{30}$ см.

219. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

219. Образующая конуса равна $a$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $a$, а угол при вершине равен $\alpha$.

Шар, описанный около конуса, будет также описан и около этого равнобедренного треугольника. Причем сечение шара, проходящее через ось конуса, является большим кругом этого шара. Таким образом, задача сводится к нахождению площади круга, описанного около равнобедренного треугольника со сторонами $a$, $a$ и углом $\alpha$ между ними.

Обозначим радиус описанной окружности (и, соответственно, радиус большого круга шара) как $R$. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника: $ \frac{side}{\sin(\text{opposite angle})} = 2R $

В нашем равнобедренном треугольнике мы знаем боковую сторону $a$. Найдем угол, противолежащий этой стороне. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый угол при основании равен: $ \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $

Теперь применим теорему синусов, используя боковую сторону $a$ и противолежащий ей угол $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$: $ \frac{a}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R $

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем: $ \frac{a}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = 2R $

Отсюда выразим радиус $R$: $ R = \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} $

Площадь большого круга шара $S$ находится по формуле $S = \pi R^2$. Подставим в нее найденное выражение для $R$: $ S = \pi \left( \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 = \pi \frac{a^2}{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $ \frac{\pi a^2}{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} $

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности конуса, $S_{бок}$, воспользуемся формулой $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного вокруг него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а осевым сечением шара – большой круг. Так как шар описан около конуса, вершины осевого сечения конуса лежат на этом большом круге. Таким образом, большой круг шара радиуса $R$ является окружностью, описанной около равнобедренного треугольника (осевого сечения конуса).

Пусть высота конуса равна $H$, радиус основания $r$, а образующая $l$. Угол между образующей и высотой равен $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, имеем следующие соотношения:

$r = l \cdot \sin(\alpha)$

$H = l \cdot \cos(\alpha)$

Центр описанного шара $O$ лежит на высоте конуса (оси симметрии). Пусть $A$ – вершина конуса, $H_{осн}$ – центр его основания. Тогда высота конуса – это отрезок $AH_{осн}$, равный $H$. Расстояние от центра шара $O$ до вершины конуса $A$ и до любой точки на окружности основания равно радиусу шара $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара к точке на окружности основания ($R$), радиусом основания конуса ($r$) и отрезком $OH_{осн}$ (расстояние от центра шара до плоскости основания конуса). По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (OH_{осн})^2$

Поскольку осевое сечение является остроугольным треугольником, центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника, то есть на высоте $H$ между вершиной $A$ и основанием. Расстояние от центра шара до вершины конуса $OA = R$. Тогда расстояние от центра шара до основания конуса $OH_{осн} = H - OA = H - R$.

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$R^2 = r^2 + (H - R)^2$

$R^2 = r^2 + H^2 - 2HR + R^2$

$0 = r^2 + H^2 - 2HR$

Из геометрии конуса мы знаем, что $l^2 = r^2 + H^2$. Заменим $r^2 + H^2$ на $l^2$:

$l^2 - 2HR = 0 \implies l^2 = 2HR$

Теперь подставим в это соотношение выражение для $H$ через $l$ и $\alpha$: $H = l \cos(\alpha)$.

$l^2 = 2R(l \cos(\alpha))$

Поскольку $l \neq 0$, разделим обе части на $l$:

$l = 2R \cos(\alpha)$

Теперь найдем радиус основания $r$:

$r = l \sin(\alpha) = (2R \cos(\alpha)) \sin(\alpha) = 2R \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, получаем:

$r = R \sin(2\alpha)$

Наконец, найдем площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l = \pi (R \sin(2\alpha)) (2R \cos(\alpha)) = 2\pi R^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$

Условие, что осевое сечение является остроугольным треугольником, означает, что все его углы меньше $90^\circ$. Угол при вершине равен $2\alpha$, а углы при основании – $90^\circ - \alpha$. Условия остроугольности: $2\alpha < 90^\circ$ и $90^\circ - \alpha < 90^\circ$, что дает $0 < \alpha < 45^\circ$. При этих значениях $\alpha$ все тригонометрические функции в ответе положительны.

Ответ: $2\pi R^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 9 см, а его образующая — $\sqrt{61}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 9 см, а его образующая — $\sqrt{61}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Радиус сферы, описанной около усечённого конуса, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения этого конуса. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию.

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса: $a = 2r_2 = 2 \cdot 9 = 18$ см и $b = 2r_1 = 2 \cdot 3 = 6$ см. Боковая сторона трапеции равна образующей конуса $l = \sqrt{61}$ см.

1. Найдем высоту трапеции (и усеченного конуса) $H$.
Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это образующая $l$, один катет — это высота $H$, а второй катет равен полуразности оснований трапеции, то есть $r_2 - r_1$.
По теореме Пифагора:
$H^2 + (r_2 - r_1)^2 = l^2$
$H^2 + (9 - 3)^2 = (\sqrt{61})^2$
$H^2 + 6^2 = 61$
$H^2 + 36 = 61$
$H^2 = 61 - 36 = 25$
$H = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем диагональ трапеции $d$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции, ее высотой $H$ и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a - (r_2 - r_1) = 2r_2 - (r_2-r_1) = r_2+r_1$.
Катеты этого треугольника равны $H = 5$ см и $r_1 + r_2 = 3 + 9 = 12$ см. Гипотенуза — диагональ $d$.
По теореме Пифагора:
$d^2 = H^2 + (r_1 + r_2)^2$
$d^2 = 5^2 + 12^2$
$d^2 = 25 + 144 = 169$
$d = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Найдем радиус $R$ описанной окружности.
Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции. Стороны этого треугольника: $18$ см, $\sqrt{61}$ см и $13$ см.
Радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $s_1, s_2, s_3$ и площадью $S$ вычисляется по формуле: $R = \frac{s_1 s_2 s_3}{4S}$.
Площадь нашего треугольника равна половине произведения его основания (большее основание трапеции) на высоту (высота трапеции):
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5 = 45$ см$^2$.
Теперь найдем радиус $R$:
$R = \frac{18 \cdot \sqrt{61} \cdot 13}{4 \cdot 45} = \frac{18 \cdot 13 \cdot \sqrt{61}}{180} = \frac{13 \sqrt{61}}{10}$ см.

Ответ: $\frac{13\sqrt{61}}{10}$ см.

222. Образующая усечённого конуса равна 30 см, а диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 25 см.

222. Образующая усечённого конуса равна 30 см, а диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 25 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, вписанная в окружность большого круга описанного шара. Обозначим вершины трапеции как $A, B, C, D$, где $DC$ — большее основание, а $AB$ — меньшее. $AD$ и $BC$ — образующие усечённого конуса, а $AC$ — диагональ осевого сечения.

Пусть $l$ — длина образующей, $r_1$ и $r_2$ — радиусы меньшего и большего оснований конуса соответственно ($r_1 = AB/2$, $r_2 = DC/2$), $R$ — радиус описанного шара.

По условию:
- Образующая $l = AD = 30$ см.
- Диагональ осевого сечения $AC$ перпендикулярна образующей $AD$, т.е. $\angle DAC = 90^\circ$.
- Радиус описанного шара $R = 25$ см.

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность радиусом $R = 25$ см, то эта окружность является описанной и для треугольника $ADC$.

Применим теорему синусов для треугольника $ADC$: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.
$\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = 2R$

Поскольку $\angle DAC = 90^\circ$, то $\sin(\angle DAC) = \sin(90^\circ) = 1$.
Следовательно, $DC = 2R$.
$DC = 2 \cdot 25 = 50$ см.

$DC$ является диаметром большего основания усеченного конуса. Тогда его радиус $r_2$:
$r_2 = \frac{DC}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора:
$AC^2 + AD^2 = DC^2$
$AC^2 + 30^2 = 50^2$
$AC^2 = 2500 - 900 = 1600$
$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к основанию $DC$. В прямоугольном треугольнике $ADC$ высота $AH$ может быть найдена через площадь:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC = \frac{1}{2} DC \cdot AH$
$AD \cdot AC = DC \cdot AH$
$30 \cdot 40 = 50 \cdot AH$
$AH = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора:
$DH^2 + AH^2 = AD^2$
$DH^2 + 24^2 = 30^2$
$DH^2 = 900 - 576 = 324$
$DH = \sqrt{324} = 18$ см.

Для равнобокой трапеции отрезок $DH$ равен полуразности оснований:
$DH = \frac{DC - AB}{2} = \frac{2r_2 - 2r_1}{2} = r_2 - r_1$
$18 = 25 - r_1$
$r_1 = 25 - 18 = 7$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности усеченного конуса по формуле $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$:
$S_{бок} = \pi (7 + 25) \cdot 30 = \pi \cdot 32 \cdot 30 = 960\pi$ см².

Ответ: $960\pi$ см².

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковые стороны являются образующими конуса.

Пусть высота конуса (и трапеции) равна $h$. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью большего основания угол $\alpha$. Проекция этой диагонали на плоскость большего основания представляет собой отрезок, соединяющий концы диаметров разных оснований. Длина этой проекции равна $R+r$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, ее проекцией и высотой конуса, находим высоту $h$:

$ \tan \alpha = \frac{h}{R+r} \implies h = (R+r) \tan \alpha $

Шар, описанный около усеченного конуса, имеет своим центром точку на оси конуса. Окружности оснований конуса лежат на поверхности этого шара. Следовательно, радиус описанного шара, обозначим его $R_{сф}$, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения (равнобокой трапеции).

Для нахождения радиуса этой окружности воспользуемся координатным методом. Разместим осевое сечение в системе координат $xy$. Пусть ось $y$ совпадает с осью конуса, а центр большего основания находится в начале координат $(0,0)$. Тогда вершины трапеции, соответствующие концам одного диаметра большего основания и одного диаметра меньшего основания, будут иметь координаты $A(R, 0)$ и $C(r, h)$.

Центр описанной окружности (и сферы) лежит на оси $y$, пусть его координаты $(0, y_c)$. Радиус сферы $R_{сф}$ — это расстояние от центра до любой вершины трапеции. Запишем уравнения, используя расстояние до точек $A$ и $C$:

$ R_{сф}^2 = (R-0)^2 + (0-y_c)^2 = R^2 + y_c^2 $

$ R_{сф}^2 = (r-0)^2 + (h-y_c)^2 = r^2 + (h-y_c)^2 $

Приравнивая правые части, найдем координату центра $y_c$:

$ R^2 + y_c^2 = r^2 + h^2 - 2hy + y_c^2 $

$ R^2 = r^2 + h^2 - 2hy $

$ 2hy = h^2 + r^2 - R^2 $

$ y_c = \frac{h^2 + r^2 - R^2}{2h} $

Теперь подставим найденное значение $y_c$ в первое уравнение, чтобы найти квадрат радиуса сферы $R_{сф}^2$:

$ R_{сф}^2 = R^2 + \left( \frac{h^2 + r^2 - R^2}{2h} \right)^2 = \frac{4h^2R^2 + (h^2 + r^2 - R^2)^2}{4h^2} $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые в числителе:

$ R_{сф}^2 = \frac{4h^2R^2 + h^4 + (r^2 - R^2)^2 + 2h^2(r^2 - R^2)}{4h^2} = \frac{h^4 + (R^2 - r^2)^2 + 2h^2(2R^2 + r^2 - R^2)}{4h^2} = \frac{h^4 + 2h^2(R^2 + r^2) + (R^2 - r^2)^2}{4h^2} $

Это выражение можно свернуть как произведение:

$ R_{сф}^2 = \frac{(h^2 + (R-r)^2)(h^2 + (R+r)^2)}{4h^2} $

Теперь подставим $h = (R+r) \tan \alpha$ в это выражение. Сначала найдем значения для скобок в числителе:

$ h^2 + (R+r)^2 = (R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R+r)^2 = (R+r)^2(\tan^2 \alpha + 1) = \frac{(R+r)^2}{\cos^2 \alpha} $

$ h^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R-r)^2 $

Подставляем обратно в формулу для $R_{сф}^2$:

$ R_{сф}^2 = \frac{((R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R-r)^2) \cdot \frac{(R+r)^2}{\cos^2 \alpha}}{4((R+r) \tan \alpha)^2} = \frac{(R+r)^2 \tan^2 \alpha + (R-r)^2}{4 \tan^2 \alpha \cos^2 \alpha} $

Заменим $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$ R_{сф}^2 = \frac{(R+r)^2 \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + (R-r)^2}{4 \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cos^2 \alpha} = \frac{(R+r)^2 \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + (R-r)^2}{4 \sin^2 \alpha} $

Умножим числитель и знаменатель на $\cos^2 \alpha$:

$ R_{сф}^2 = \frac{(R+r)^2 \sin^2 \alpha + (R-r)^2 \cos^2 \alpha}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $

Раскроем скобки в числителе и используем тригонометрические тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$:

$ R_{сф}^2 = \frac{(R^2+2Rr+r^2)\sin^2 \alpha + (R^2-2Rr+r^2)\cos^2 \alpha}{(2\sin \alpha \cos \alpha)^2} $

$ R_{сф}^2 = \frac{R^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + r^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2Rr(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $

$ R_{сф}^2 = \frac{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $

Извлекая квадратный корень, получаем искомый радиус шара. Поскольку угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике острый, $0 < 2\alpha < 180^\circ$, и, следовательно, $\sin(2\alpha) > 0$.

$ R_{сф} = \frac{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)} $