Страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $36 \text{ см}^2$, а площадь меньшего основания — $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего основания усечённого конуса.

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна 36 см², а площадь меньшего основания — 16 см². Найдите площадь большего основания усечённого конуса.

Пусть $S_1$ — площадь меньшего основания усеченного конуса, $S_2$ — площадь большего основания, а $S_{ср}$ — площадь сечения, проведенного через середину высоты параллельно основаниям. По условию задачи дано: $S_1 = 16 \text{ см}^2$ и $S_{ср} = 36 \text{ см}^2$. Требуется найти $S_2$.

Основания и сечение конуса являются кругами. Площадь круга $S$ связана с его радиусом $r$ формулой $S = \pi r^2$. Обозначим радиусы меньшего основания, большего основания и среднего сечения как $r_1$, $r_2$ и $r_{ср}$ соответственно.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а высота равна высоте конуса. Сечение, проведенное через середину высоты, в плоскости осевого сечения будет являться средней линией этой трапеции. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований. Диаметр среднего сечения $2r_{ср}$ равен длине средней линии:
$2r_{ср} = \frac{2r_1 + 2r_2}{2} = r_1 + r_2$
Отсюда следует, что радиус среднего сечения является средним арифметическим радиусов оснований: $r_{ср} = \frac{r_1 + r_2}{2}$.

Поскольку радиус круга можно выразить через его площадь как $r = \sqrt{S/\pi}$, мы можем переписать соотношение для радиусов через площади:
$\sqrt{\frac{S_{ср}}{\pi}} = \frac{\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi}}{2}$
Умножив обе части уравнения на $2\sqrt{\pi}$, получим соотношение для квадратных корней из площадей:
$2\sqrt{S_{ср}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$

Подставим известные значения $S_1 = 16$ и $S_{ср} = 36$ в полученную формулу:
$2\sqrt{36} = \sqrt{16} + \sqrt{S_2}$
$2 \cdot 6 = 4 + \sqrt{S_2}$
$12 = 4 + \sqrt{S_2}$

Теперь найдем $\sqrt{S_2}$:
$\sqrt{S_2} = 12 - 4 = 8$

Чтобы найти площадь большего основания $S_2$, возведем обе части равенства в квадрат:
$S_2 = 8^2 = 64$

Следовательно, площадь большего основания усеченного конуса равна $64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

155. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна $d$, а его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

155. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна $d$, а его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $γ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. Обозначим радиусы большего и меньшего оснований как $R$ и $r$ соответственно, образующую как $l$, и высоту конуса как $h$.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.

Рассмотрим осевое сечение. Это равнобокая трапеция, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны равны образующей $l$, а диагонали по условию равны $d$ и взаимно перпендикулярны.

Площадь любого выпуклого четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей. В нашем случае диагонали равны $d$, поэтому площадь осевого сечения (трапеции) равна:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot d = \frac{d^2}{2}$

С другой стороны, площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту:

$S_{сеч} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$(R+r)h = \frac{d^2}{2}$

По условию, образующая $l$ наклонена к плоскости большего основания под углом $\gamma$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $l$ (гипотенуза), высотой конуса $h$ (катет) и проекцией образующей на плоскость большего основания (второй катет). Из этого треугольника следует соотношение:

$h = l \cdot \sin{\gamma}$

Теперь подставим это выражение для высоты $h$ в наше уравнение для площади:

$(R+r)(l \cdot \sin{\gamma}) = \frac{d^2}{2}$

Из этого уравнения выразим произведение $(R+r)l$, которое нам нужно для нахождения площади боковой поверхности:

$(R+r)l = \frac{d^2}{2\sin{\gamma}}$

Наконец, подставим найденное выражение в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot ((R+r)l) = \pi \cdot \frac{d^2}{2\sin{\gamma}}$

Ответ: $\frac{\pi d^2}{2\sin{\gamma}}$

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $AD = 10$ см, $CD = 12$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $AD = 10$ см, $CD = 12$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

При вращении трапеции $ABCD$ вокруг прямой $AB$ образуется тело вращения, которое является усечённым конусом. Это связано с тем, что $BC \parallel AD$ (основания трапеции) и $AB \perp AD$ (ось вращения перпендикулярна одному из оснований, а значит, и второму).

Параметры образовавшегося усечённого конуса:

• Радиус большего основания $R$ равен длине стороны $AD$, так как $AD \perp AB$. Таким образом, $R = AD = 10$ см.
• Радиус меньшего основания $r$ равен длине стороны $BC$, так как $BC \perp AB$. Длину $BC$ предстоит найти.
• Образующая $l$ равна длине боковой стороны $CD$. Таким образом, $l = CD = 12$ см.
• Высота $h$ усечённого конуса равна длине стороны $AB$. Таким образом, $h = AB = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус меньшего основания $r = BC$. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ (так как $AB \perp AD$ и $CH \perp AD$) и прямоугольный треугольник $CHD$.

Из свойств прямоугольника $ABCH$ следует, что $CH = AB = 6\sqrt{3}$ см и $AH = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдём катет $HD$:$HD^2 = CD^2 - CH^2$$HD^2 = 12^2 - (6\sqrt{3})^2 = 144 - 36 \cdot 3 = 144 - 108 = 36$$HD = \sqrt{36} = 6$ см.

Основание $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AH + HD$. Отсюда мы можем найти длину $AH$:$AH = AD - HD = 10 - 6 = 4$ см.

Так как $AH = BC$, то радиус меньшего основания $r = BC = 4$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчёта площади боковой поверхности усечённого конуса:$R = 10$ см, $r = 4$ см, $l = 12$ см.

Подставляем эти значения в формулу:$S_{бок} = \pi(10 + 4) \cdot 12 = \pi \cdot 14 \cdot 12 = 168\pi$ см².

Ответ: $168\pi$ см².

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, противолежащего данному катету, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, противолежащего данному катету, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($∠C = 90°$). Согласно условию, один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $α$. Пусть катет $AC = a$ и прилежащий к нему угол $∠A = α$. Тогда другие элементы треугольника равны:

• Второй острый угол: $∠B = 90° - α$.
• Второй катет: $BC = AC \cdot \tan(A) = a \tan(α)$.
• Гипотенуза: $AB = \frac{AC}{\cos(A)} = \frac{a}{\cos(α)}$.

Треугольник вращается вокруг прямой $L$, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через вершину угла, противолежащего данному катету $AC$ (то есть через вершину $B$), и перпендикулярна гипотенузе $AB$.

Поверхность тела вращения состоит из поверхностей, образованных вращением сторон треугольника $AC$ и $BC$. Сторона $AB$ при вращении образует плоский круг (диск), который является внутренней частью тела вращения (общее основание для двух его частей), поэтому его площадь не входит в площадь внешней поверхности.

Таким образом, искомая площадь поверхности $S$ равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением катетов $AC$ и $BC$: $S = S_{AC} + S_{BC}$.

Для вычисления площадей нам понадобятся расстояния (радиусы вращения) от вершин $A$ и $C$ до оси вращения $L$. Ось $L$ проходит через $B$ и перпендикулярна $AB$.

1. Радиус вращения вершины A ($r_A$): Расстояние от точки $A$ до прямой $L$ равно длине отрезка $AB$, так как $L \perp AB$ в точке $B$. $r_A = AB = \frac{a}{\cos(α)}$.

2. Радиус вращения вершины C ($r_C$): Расстояние от точки $C$ до прямой $L$ равно длине отрезка $BH$, где $H$ — проекция точки $C$ на прямую, содержащую гипотенузу $AB$. В прямоугольном треугольнике $BCH$ (где $∠BHC = 90°$), угол $∠B = 90° - α$. $BH = BC \cdot \cos(∠B) = BC \cdot \cos(90° - α) = BC \cdot \sin(α)$. Подставляя значение $BC = a \tan(α)$, получаем: $r_C = BH = (a \tan(α)) \cdot \sin(α) = a \frac{\sin(α)}{\cos(α)} \sin(α) = a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Теперь найдем площади поверхностей вращения для каждого катета.

Площадь поверхности, образованной вращением катета BC ($S_{BC}$): При вращении отрезка $BC$ вокруг оси $L$, проходящей через его конец $B$, образуется боковая поверхность конуса.

• Образующая конуса $l_{BC} = BC = a \tan(α)$.
• Радиус основания конуса $r = r_C = a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{BC} = \pi r l_{BC} = \pi \left(a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}\right) (a \tan(α)) = \pi a^2 \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)} \frac{\sin(α)}{\cos(α)} = \pi a^2 \frac{\sin^3(α)}{\cos^2(α)}$.

Площадь поверхности, образованной вращением катета AC ($S_{AC}$): При вращении отрезка $AC$ вокруг оси $L$ образуется боковая поверхность усеченного конуса, так как ни один из его концов не лежит на оси.

• Образующая усеченного конуса $l_{AC} = AC = a$.
• Радиусы оснований $R = r_A = \frac{a}{\cos(α)}$ и $r = r_C = a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $S_{AC} = \pi (R+r) l_{AC} = \pi \left(\frac{a}{\cos(α)} + a \frac{\sin^2(α)}{\cos(α)}\right) a = \pi a^2 \frac{1+\sin^2(α)}{\cos(α)}$.

Общая площадь поверхности тела вращения: $S = S_{BC} + S_{AC} = \pi a^2 \frac{\sin^3(α)}{\cos^2(α)} + \pi a^2 \frac{1+\sin^2(α)}{\cos(α)}$. Приведем к общему знаменателю $\cos^2(α)$: $S = \pi a^2 \left( \frac{\sin^3(α)}{\cos^2(α)} + \frac{(1+\sin^2(α))\cos(α)}{\cos^2(α)} \right)$. $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2(α)} (\sin^3(α) + \cos(α) + \sin^2(α)\cos(α))$. $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2(α)} (\cos(α) + \sin^2(α)(\sin(α) + \cos(α)))$.

Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2(α)} (\cos(α) + \sin^3(α) + \sin^2(α)\cos(α))$

158. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота $-$ $\sqrt{13}$ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

158. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота – $ \sqrt{13} $ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. В основании этой пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды, по условию, равна $H = \sqrt{13}$ см.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет общую вершину с пирамидой и в его основании лежит окружность, описанная около основания пирамиды. Это означает, что высота конуса совпадает с высотой пирамиды ($H_{конуса} = H_{пирамиды} = \sqrt{13}$ см), а радиус основания конуса ($R$) равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании пирамиды.

Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $R$. Согласно теореме Пифагора, их связывает соотношение:
$L^2 = H^2 + R^2$

Для того чтобы найти образующую $L$, сначала необходимо вычислить радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=6$ см. Формула для радиуса такой окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим известное значение стороны $a$:
$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту $H$ и радиус $R$, мы можем найти образующую $L$ конуса:
$L^2 = (\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{3})^2$
$L^2 = 13 + (4 \cdot 3)$
$L^2 = 13 + 12$
$L^2 = 25$
$L = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна $2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна $2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$, а диагональ как $d$. Согласно условию, одна из сторон равна $a = 2\sqrt{6}$ см, и угол между этой стороной и диагональю прямоугольника составляет $30^\circ$.

Стороны $a$, $b$ и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $a$ и $b$ являются катетами, а $d$ — гипотенузой. Угол между катетом $a$ и гипотенузой $d$ равен $30^\circ$. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем длину второго катета $b$ и гипотенузы $d$.
$b = a \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2}$ см.
$d = \frac{a}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как конус описан около пирамиды, его основанием является окружность, описанная около прямоугольника в основании пирамиды. Радиус $R$ такой окружности равен половине диагонали прямоугольника:$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

В условии сказано, что каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания, то есть в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Высота пирамиды $H$ совпадает с высотой конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей конуса $L$ (которая является боковым ребром пирамиды). Угол между образующей $L$ и ее проекцией на основание (радиусом $R$) составляет $45^\circ$. Таким образом:$\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что $H = R$.Следовательно, высота конуса $H = 2\sqrt{2}$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$Так как мы установили, что $H = R$, формула для площади принимает вид:$S = R^2$Подставим найденное значение радиуса:$S = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.

160. Сторона основания правильной четырёхугольной пи- рамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной четырёхугольной пи- рамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` — квадратное основание. По условию, сторона основания равна `a`, то есть `AB = BC = CD = DA = a`. Конус описан около этой пирамиды, значит его вершина совпадает с вершиной пирамиды `S`, а его основание — это окружность, описанная около квадрата `ABCD`.

Площадь осевого сечения конуса `S_{сеч}` находится по формуле `S_{сеч} = R \cdot H`, где `R` — радиус основания конуса, а `H` — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса `R`.
Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной `a`, равен половине его диагонали. Диагональ `d` квадрата `ABCD` можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника `ABC`: `d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}`. Следовательно, радиус основания конуса: `R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}`.

2. Найдем высоту конуса `H`.
Высота конуса совпадает с высотой пирамиды `SO`, где `O` — центр квадрата `ABCD`. Двугранный угол при ребре основания, равный `\alpha`, — это угол между боковой гранью (например, `SBC`) и плоскостью основания. Его линейным углом будет угол `\angle SMO`, где `M` — середина ребра `BC`. Треугольник `SOM` — прямоугольный, так как `SO` — высота. Катет `OM` — это расстояние от центра квадрата до его стороны, он равен половине стороны квадрата: `OM = \frac{a}{2}`. Из прямоугольного треугольника `SOM` выразим высоту `H = SO` через `OM` и угол `\alpha`: `\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{a/2}`. Отсюда находим высоту: `H = \frac{a}{2} \tan(\alpha)`.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения `R` и `H` в формулу площади: `S_{сеч} = R \cdot H = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)`.

Ответ: `\frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)`