Номер 156, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $AD = 10$ см, $CD = 12$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $AD = 10$ см, $CD = 12$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

При вращении трапеции $ABCD$ вокруг прямой $AB$ образуется тело вращения, которое является усечённым конусом. Это связано с тем, что $BC \parallel AD$ (основания трапеции) и $AB \perp AD$ (ось вращения перпендикулярна одному из оснований, а значит, и второму).

Параметры образовавшегося усечённого конуса:

• Радиус большего основания $R$ равен длине стороны $AD$, так как $AD \perp AB$. Таким образом, $R = AD = 10$ см.
• Радиус меньшего основания $r$ равен длине стороны $BC$, так как $BC \perp AB$. Длину $BC$ предстоит найти.
• Образующая $l$ равна длине боковой стороны $CD$. Таким образом, $l = CD = 12$ см.
• Высота $h$ усечённого конуса равна длине стороны $AB$. Таким образом, $h = AB = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус меньшего основания $r = BC$. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ (так как $AB \perp AD$ и $CH \perp AD$) и прямоугольный треугольник $CHD$.

Из свойств прямоугольника $ABCH$ следует, что $CH = AB = 6\sqrt{3}$ см и $AH = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдём катет $HD$:$HD^2 = CD^2 - CH^2$$HD^2 = 12^2 - (6\sqrt{3})^2 = 144 - 36 \cdot 3 = 144 - 108 = 36$$HD = \sqrt{36} = 6$ см.

Основание $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AH + HD$. Отсюда мы можем найти длину $AH$:$AH = AD - HD = 10 - 6 = 4$ см.

Так как $AH = BC$, то радиус меньшего основания $r = BC = 4$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчёта площади боковой поверхности усечённого конуса:$R = 10$ см, $r = 4$ см, $l = 12$ см.

Подставляем эти значения в формулу:$S_{бок} = \pi(10 + 4) \cdot 12 = \pi \cdot 14 \cdot 12 = 168\pi$ см².

Ответ: $168\pi$ см².