Номер 154, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $36 \text{ см}^2$, а площадь меньшего основания — $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего основания усечённого конуса.

154. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна 36 см², а площадь меньшего основания — 16 см². Найдите площадь большего основания усечённого конуса.

Пусть $S_1$ — площадь меньшего основания усеченного конуса, $S_2$ — площадь большего основания, а $S_{ср}$ — площадь сечения, проведенного через середину высоты параллельно основаниям. По условию задачи дано: $S_1 = 16 \text{ см}^2$ и $S_{ср} = 36 \text{ см}^2$. Требуется найти $S_2$.

Основания и сечение конуса являются кругами. Площадь круга $S$ связана с его радиусом $r$ формулой $S = \pi r^2$. Обозначим радиусы меньшего основания, большего основания и среднего сечения как $r_1$, $r_2$ и $r_{ср}$ соответственно.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а высота равна высоте конуса. Сечение, проведенное через середину высоты, в плоскости осевого сечения будет являться средней линией этой трапеции. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований. Диаметр среднего сечения $2r_{ср}$ равен длине средней линии:
$2r_{ср} = \frac{2r_1 + 2r_2}{2} = r_1 + r_2$
Отсюда следует, что радиус среднего сечения является средним арифметическим радиусов оснований: $r_{ср} = \frac{r_1 + r_2}{2}$.

Поскольку радиус круга можно выразить через его площадь как $r = \sqrt{S/\pi}$, мы можем переписать соотношение для радиусов через площади:
$\sqrt{\frac{S_{ср}}{\pi}} = \frac{\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi}}{2}$
Умножив обе части уравнения на $2\sqrt{\pi}$, получим соотношение для квадратных корней из площадей:
$2\sqrt{S_{ср}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$

Подставим известные значения $S_1 = 16$ и $S_{ср} = 36$ в полученную формулу:
$2\sqrt{36} = \sqrt{16} + \sqrt{S_2}$
$2 \cdot 6 = 4 + \sqrt{S_2}$
$12 = 4 + \sqrt{S_2}$

Теперь найдем $\sqrt{S_2}$:
$\sqrt{S_2} = 12 - 4 = 8$

Чтобы найти площадь большего основания $S_2$, возведем обе части равенства в квадрат:
$S_2 = 8^2 = 64$

Следовательно, площадь большего основания усеченного конуса равна $64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.