Номер 149, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 5 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите образующую усечённого конуса.

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 5 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите образующую усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), а образующую — как $l$. По условию задачи дано:
$R = 5$ см;
$r = 3$ см;
Угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 45°$.

Для нахождения образующей рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. Проведем в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания на большее. Эта высота, часть большего основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:
- гипотенуза — это образующая конуса $l$;
- один из катетов равен высоте конуса $h$;
- второй катет равен разности радиусов оснований $R - r$;
- угол, прилежащий ко второму катету (между образующей и плоскостью основания), равен $\alpha = 45°$.

Вычислим длину катета, равного разности радиусов:
$R - r = 5 - 3 = 2$ см.

Теперь, зная прилежащий катет ($R-r$) и угол ($\alpha$) в прямоугольном треугольнике, мы можем найти гипотенузу $l$ через косинус этого угла:
$\cos(\alpha) = \frac{R - r}{l}$

Выразим из этой формулы образующую $l$:
$l = \frac{R - r}{\cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения:
$l = \frac{2}{\cos(45°)}$

Поскольку значение $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$l = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$l = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.