Номер 146, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 12 см, боковая сторона — 17 см, а высота — 15 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

146. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 12 см, боковая сторона — 17 см, а высота — 15 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Тело вращения образуется при вращении равнобокой трапеции вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание. Площадь поверхности этого тела складывается из площадей поверхностей, образованных вращением большего основания и двух боковых сторон трапеции. Меньшее основание лежит на оси вращения и при вращении не образует поверхности (площадь равна нулю).

При вращении большего основания трапеции образуется боковая поверхность цилиндра. При вращении двух боковых сторон (ног) трапеции образуются боковые поверхности двух одинаковых конусов.

Для вычисления площадей нам понадобятся следующие размеры:

• Радиус основания цилиндра и конусов, который равен высоте трапеции: $r = h = 15$ см.
• Образующая конусов, которая равна боковой стороне трапеции: $l = 17$ см.
• Высота цилиндра, которая равна длине большего основания трапеции. Найдем длину большего основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и проекцией боковой стороны на большее основание (второй катет). Обозначим длину проекции как $x$. По теореме Пифагора:
$x = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см.
Так как трапеция равнобокая, ее большее основание $a$ равно сумме меньшего основания $b$ и двух таких проекций:
$a = b + 2x = 12 + 2 \cdot 8 = 12 + 16 = 28$ см.

Теперь можем вычислить площади поверхностей:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением большего основания:
$S_{цил} = 2 \pi r a = 2 \pi \cdot 15 \cdot 28 = 840 \pi$ см$^2$.
2. Суммарная площадь боковых поверхностей двух конусов, образованных вращением боковых сторон:
$S_{2кон} = 2 \cdot (\pi r l) = 2 \cdot \pi \cdot 15 \cdot 17 = 510 \pi$ см$^2$.

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей:
$S_{общ} = S_{цил} + S_{2кон} = 840 \pi + 510 \pi = 1350 \pi$ см$^2$.

Ответ: $1350 \pi$ см$^2$.