Номер 152, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{21}$ см, а диагональ осевого сечения $-$ $10\sqrt{3}$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

152. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{21}$ см, а ди- агональ осевого сечения – $10\sqrt{3}$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью основания равен $30^{\circ}$. Най- дите радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, назовем её ABCD, где AD и BC — диаметры нижнего и верхнего оснований соответственно.

Пусть $R$ — радиус нижнего основания, а $r$ — радиус верхнего основания. Тогда длина большего основания трапеции $AD = 2R$, а меньшего — $BC = 2r$. Боковая сторона трапеции является образующей конуса, $CD = l = 2\sqrt{21}$ см. Диагональ трапеции $AC = d = 10\sqrt{3}$ см.

Угол между диагональю AC и плоскостью нижнего основания — это угол, образованный диагональю AC и её проекцией на это основание. В осевом сечении это угол $\angle CAD$, и по условию он равен $30^\circ$.

Проведём из вершины C высоту CH на основание AD. Треугольник AHC является прямоугольным, с гипотенузой AC и острым углом $\angle CAH = 30^\circ$. Найдём высоту трапеции H (которая равна высоте конуса) и длину отрезка AH:

$H = CH = AC \cdot \sin(30^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

$AH = AC \cdot \cos(30^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ см.

Теперь выразим отрезок AH через радиусы $R$ и $r$. В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий вершину с проекцией на большее основание, можно найти следующим образом. Проведём также высоту из вершины B на основание AD. Основание высоты H делит большее основание AD на отрезки AH и HD. Длина отрезка AH равна сумме радиуса большего основания и радиуса меньшего основания:

$AH = R + r$.

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $R + r = 15$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Его гипотенуза — это образующая $CD = l = 2\sqrt{21}$ см, а один из катетов — высота $CH = H = 5\sqrt{3}$ см. Второй катет HD можно найти по теореме Пифагора:

$HD^2 = CD^2 - CH^2 = (2\sqrt{21})^2 - (5\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 21 - 25 \cdot 3 = 84 - 75 = 9$.

Отсюда $HD = \sqrt{9} = 3$ см.

Длина отрезка HD равна разности радиусов оснований:

$HD = R - r$.

Таким образом, мы получаем второе уравнение: $R - r = 3$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} R + r = 15 \\ R - r = 3 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $(R + r) + (R - r) = 15 + 3$, что даёт $2R = 18$, откуда $R = 9$ см.

Подставим найденное значение R в первое уравнение: $9 + r = 15$, откуда $r = 15 - 9 = 6$ см.

Ответ: радиусы оснований усечённого конуса равны 9 см и 6 см.