Номер 155, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна $d$, а его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

155. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна $d$, а его образующая наклонена к плоскости большего основания под углом $γ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. Обозначим радиусы большего и меньшего оснований как $R$ и $r$ соответственно, образующую как $l$, и высоту конуса как $h$.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.

Рассмотрим осевое сечение. Это равнобокая трапеция, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны равны образующей $l$, а диагонали по условию равны $d$ и взаимно перпендикулярны.

Площадь любого выпуклого четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей. В нашем случае диагонали равны $d$, поэтому площадь осевого сечения (трапеции) равна:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot d = \frac{d^2}{2}$

С другой стороны, площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту:

$S_{сеч} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$(R+r)h = \frac{d^2}{2}$

По условию, образующая $l$ наклонена к плоскости большего основания под углом $\gamma$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $l$ (гипотенуза), высотой конуса $h$ (катет) и проекцией образующей на плоскость большего основания (второй катет). Из этого треугольника следует соотношение:

$h = l \cdot \sin{\gamma}$

Теперь подставим это выражение для высоты $h$ в наше уравнение для площади:

$(R+r)(l \cdot \sin{\gamma}) = \frac{d^2}{2}$

Из этого уравнения выразим произведение $(R+r)l$, которое нам нужно для нахождения площади боковой поверхности:

$(R+r)l = \frac{d^2}{2\sin{\gamma}}$

Наконец, подставим найденное выражение в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot ((R+r)l) = \pi \cdot \frac{d^2}{2\sin{\gamma}}$

Ответ: $\frac{\pi d^2}{2\sin{\gamma}}$