Номер 159, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна $2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна $2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$, а диагональ как $d$. Согласно условию, одна из сторон равна $a = 2\sqrt{6}$ см, и угол между этой стороной и диагональю прямоугольника составляет $30^\circ$.

Стороны $a$, $b$ и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $a$ и $b$ являются катетами, а $d$ — гипотенузой. Угол между катетом $a$ и гипотенузой $d$ равен $30^\circ$. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем длину второго катета $b$ и гипотенузы $d$.
$b = a \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2}$ см.
$d = \frac{a}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как конус описан около пирамиды, его основанием является окружность, описанная около прямоугольника в основании пирамиды. Радиус $R$ такой окружности равен половине диагонали прямоугольника:$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

В условии сказано, что каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания, то есть в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Высота пирамиды $H$ совпадает с высотой конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей конуса $L$ (которая является боковым ребром пирамиды). Угол между образующей $L$ и ее проекцией на основание (радиусом $R$) составляет $45^\circ$. Таким образом:$\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что $H = R$.Следовательно, высота конуса $H = 2\sqrt{2}$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$Так как мы установили, что $H = R$, формула для площади принимает вид:$S = R^2$Подставим найденное значение радиуса:$S = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.