Номер 164, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная пирамида. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна $m$. Угол, который апофема образует с плоскостью основания, равен $45°$. В эту пирамиду вписан конус.

Для конуса, вписанного в правильную пирамиду, выполняются следующие соотношения:

• Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.
• Основание конуса — это круг, вписанный в многоугольник основания пирамиды.
• Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$.
• Образующая конуса $l$ равна апофеме пирамиды.
• Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды.

Таким образом, образующая конуса $l = m$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, её апофемой (которая является гипотенузой) и радиусом вписанной в основание окружности $r$ (который является проекцией апофемы на основание). В этом треугольнике:

• Гипотенуза — это апофема, равная $l = m$.
• Один катет — это высота конуса $h$.
• Второй катет — это радиус основания конуса $r$.
• Угол между апофемой и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$. По условию, этот угол равен $45°$.

Так как это прямоугольный треугольник с одним из острых углов $45°$, то он является равнобедренным, и $h = r$.

Найдем радиус основания конуса $r$ из этого треугольника, используя тригонометрические соотношения:

$r = l \cdot \cos(45°) = m \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы знаем все необходимые параметры конуса для нахождения площади его полной поверхности:

• Образующая $l = m$.
• Радиус основания $r = m \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \left(m \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(m \frac{\sqrt{2}}{2} + m\right)$

Вынесем $m$ за скобки во втором множителе:

$S_{полн} = \pi \left(m \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot m \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)$

$S_{полн} = \pi m^2 \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)$

Раскроем скобки:

$S_{полн} = \pi m^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1\right)$

$S_{полн} = \pi m^2 \left(\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$S_{полн} = \pi m^2 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 (1 + \sqrt{2})}{2}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 (1 + \sqrt{2})}{2}$