Номер 158, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота $-$ $\sqrt{13}$ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

158. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота – $ \sqrt{13} $ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. В основании этой пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды, по условию, равна $H = \sqrt{13}$ см.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет общую вершину с пирамидой и в его основании лежит окружность, описанная около основания пирамиды. Это означает, что высота конуса совпадает с высотой пирамиды ($H_{конуса} = H_{пирамиды} = \sqrt{13}$ см), а радиус основания конуса ($R$) равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании пирамиды.

Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $R$. Согласно теореме Пифагора, их связывает соотношение:
$L^2 = H^2 + R^2$

Для того чтобы найти образующую $L$, сначала необходимо вычислить радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=6$ см. Формула для радиуса такой окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим известное значение стороны $a$:
$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту $H$ и радиус $R$, мы можем найти образующую $L$ конуса:
$L^2 = (\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{3})^2$
$L^2 = 13 + (4 \cdot 3)$
$L^2 = 13 + 12$
$L^2 = 25$
$L = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.