Номер 160, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Сторона основания правильной четырёхугольной пи- рамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной четырёхугольной пи- рамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание. По условию, сторона основания равна $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Конус описан около этой пирамиды, значит его вершина совпадает с вершиной пирамиды $S$, а его основание — это окружность, описанная около квадрата $ABCD$.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ находится по формуле $S_{сеч} = R \cdot H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали. Диагональ $d$ квадрата $ABCD$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$: $d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус основания конуса: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота конуса совпадает с высотой пирамиды $SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Двугранный угол при ребре основания, равный $\alpha$, — это угол между боковой гранью (например, $SBC$) и плоскостью основания. Его линейным углом будет угол $\angle SMO$, где $M$ — середина ребра $BC$. Треугольник $SOM$ — прямоугольный, так как $SO$ — высота. Катет $OM$ — это расстояние от центра квадрата до его стороны, он равен половине стороны квадрата: $OM = \frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $SOM$ выразим высоту $H = SO$ через $OM$ и угол $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{a/2}$. Отсюда находим высоту: $H = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади: $S_{сеч} = R \cdot H = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)$