Номер 160, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Сторона основания правильной четырёхугольной пи- рамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной четырёхугольной пи- рамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` — квадратное основание. По условию, сторона основания равна `a`, то есть `AB = BC = CD = DA = a`. Конус описан около этой пирамиды, значит его вершина совпадает с вершиной пирамиды `S`, а его основание — это окружность, описанная около квадрата `ABCD`.

Площадь осевого сечения конуса `S_{сеч}` находится по формуле `S_{сеч} = R \cdot H`, где `R` — радиус основания конуса, а `H` — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса `R`.
Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной `a`, равен половине его диагонали. Диагональ `d` квадрата `ABCD` можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника `ABC`: `d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}`. Следовательно, радиус основания конуса: `R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}`.

2. Найдем высоту конуса `H`.
Высота конуса совпадает с высотой пирамиды `SO`, где `O` — центр квадрата `ABCD`. Двугранный угол при ребре основания, равный `\alpha`, — это угол между боковой гранью (например, `SBC`) и плоскостью основания. Его линейным углом будет угол `\angle SMO`, где `M` — середина ребра `BC`. Треугольник `SOM` — прямоугольный, так как `SO` — высота. Катет `OM` — это расстояние от центра квадрата до его стороны, он равен половине стороны квадрата: `OM = \frac{a}{2}`. Из прямоугольного треугольника `SOM` выразим высоту `H = SO` через `OM` и угол `\alpha`: `\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{a/2}`. Отсюда находим высоту: `H = \frac{a}{2} \tan(\alpha)`.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения `R` и `H` в формулу площади: `S_{сеч} = R \cdot H = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)`.

Ответ: `\frac{a^2\sqrt{2}}{4} \tan(\alpha)`