Номер 165, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

165. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ равна произведению его высоты $H$ на радиус основания $r$.

$S_{сеч} = r \cdot H$

Поскольку конус вписан в правильную треугольную пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Основание пирамиды — это правильный треугольник со стороной $a$.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $SO$, где $S$ - вершина, а $O$ - центр основания.

Рассмотрим боковую грань пирамиды, например, равнобедренный треугольник $ASB$, где $AB = a$ и угол при вершине $\angle ASB = \alpha$. Проведем в этом треугольнике высоту (апофему пирамиды) $SK$ к основанию $AB$. Треугольник $ASK$ - прямоугольный, в нем $AK = \frac{a}{2}$ и $\angle ASK = \frac{\alpha}{2}$.

Из треугольника $ASK$ найдем длину апофемы $SK$:

$\text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{SK}{AK} \Rightarrow SK = AK \cdot \text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, образованный высотой пирамиды $SO=H$, радиусом вписанной окружности $OK=r$ и апофемой $SK$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OK^2 = SK^2$

$H^2 = SK^2 - r^2$

Подставим известные значения $SK$ и $r$:

$H^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{a^2\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{4} - \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{4} - \frac{a^2}{12}$

$H^2 = a^2 \left(\frac{\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{4} - \frac{1}{12}\right) = a^2 \frac{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}{12}$

$H = \sqrt{a^2 \frac{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу площади:

$S_{сеч} = r \cdot H = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

$S_{сеч} = \frac{3a^2}{36}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

$S_{сеч} = \frac{a^2}{12}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

Ответ: $\frac{a^2}{12}\sqrt{3\text{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$