Номер 169, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая.

Поскольку конус вписан в пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в основание пирамиды (равнобедренный треугольник). Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ этой вписанной окружности. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Условие равенства двугранных углов при ребрах основания ($\varphi$) означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Образующая конуса $L$ совпадает с апофемой боковой грани пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $L$, угол между $L$ и $r$ равен $\varphi$. Отсюда следует соотношение: $\cos \varphi = \frac{r}{L}$, из которого находим образующую: $L = \frac{r}{\cos \varphi}$.

Подставив это в формулу площади, получаем: $S_{бок} = \pi r L = \pi r \cdot \frac{r}{\cos \varphi} = \frac{\pi r^2}{\cos \varphi}$.

Для нахождения площади нам необходимо вычислить радиус $r$ вписанной в основание окружности. Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом $\beta$ между ними.

Радиус вписанной окружности находится по формуле $r = \frac{S_{осн}}{p}$, где $S_{осн}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta$.

Найдем третью сторону основания, обозначим ее $b$, по теореме косинусов:

$b^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos \beta = 2a^2(1 - \cos \beta) = 4a^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})$.

Следовательно, $b = 2a \sin(\frac{\beta}{2})$.

Теперь найдем полупериметр:

$p = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + 2a \sin(\frac{\beta}{2})}{2} = a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))$.

Вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin \beta}{a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin \beta}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin \beta = 2 \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$, упростим выражение для радиуса:

$r = \frac{a \cdot 2 \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{1 + \sin(\frac{\beta}{2})}$.

Наконец, подставляем найденный радиус $r$ в формулу для площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \frac{\pi r^2}{\cos \varphi} = \frac{\pi}{\cos \varphi} \left( \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{1 + \sin(\frac{\beta}{2})} \right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})\cos^2(\frac{\beta}{2})}{\cos \varphi (1 + \sin(\frac{\beta}{2}))^2}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})\cos^2(\frac{\beta}{2})}{\cos \varphi (1 + \sin(\frac{\beta}{2}))^2}$.