Номер 176, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок EF, если $E(-1; 4; -3)$, $F(1; -2; -5)$.

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $EF$, если $E (-1; 4; -3)$, $F (1; -2; -5)$.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ в общем виде записывается как:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы составить уравнение для нашей сферы, необходимо определить координаты ее центра и радиус.

1. Нахождение центра сферы.

Поскольку отрезок $EF$ является диаметром сферы, ее центр $C$ будет находиться точно посередине этого отрезка. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов. Даны точки $E(-1; 4; -3)$ и $F(1; -2; -5)$.

Найдем координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$:

$x_0 = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_0 = \frac{z_E + z_F}{2} = \frac{-3 + (-5)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, центр сферы находится в точке $C(0; 1; -4)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен половине длины диаметра $EF$. Длину диаметра можно найти как расстояние между точками $E$ и $F$ по формуле расстояния в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Длина диаметра $EF$ равна:

$|EF| = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2 + (-5 - (-3))^2} = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44}$

Радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{|EF|}{2} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{2} = \frac{2\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11}$

Для уравнения сферы нам понадобится квадрат радиуса:

$R^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$

3. Составление уравнения сферы.

Теперь, зная координаты центра $C(0; 1; -4)$ и квадрат радиуса $R^2 = 11$, подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-4))^2 = 11$

Упростив, получаем окончательное уравнение:

$x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$

Ответ: $x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$