Номер 183, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{3}{5}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{3}{5}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

Пусть $R$ — радиус шара, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Площадь большого круга шара, который является сечением, проходящим через центр шара, вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Любое сечение шара плоскостью представляет собой круг. Пусть радиус этого круга равен $r$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна $\pi r^2$. По условию задачи нам дано, что $S_{сеч} = \frac{3}{5}S$.

Теперь мы можем составить уравнение, подставив в него выражения для площадей $S$ и $S_{сеч}$:$\pi r^2 = \frac{3}{5}(\pi R^2)$.

Сократив обе части уравнения на $\pi$, мы получим соотношение между квадратами радиусов сечения и шара:$r^2 = \frac{3}{5}R^2$.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны теоремой Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус шара $R$ является гипотенузой, а радиус сечения $r$ и расстояние $d$ — катетами. Следовательно:$d^2 + r^2 = R^2$.

Выразим из этого уравнения квадрат искомого расстояния $d^2$:$d^2 = R^2 - r^2$.

Подставим в полученное уравнение найденное ранее выражение для $r^2$:$d^2 = R^2 - \frac{3}{5}R^2 = (1 - \frac{3}{5})R^2 = \frac{2}{5}R^2$.

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей последнего равенства:$d = \sqrt{\frac{2}{5}R^2} = R\sqrt{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $R\sqrt{\frac{2}{5}}$, где $R$ — радиус шара.