Номер 186, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Вершины треугольника со стороной 4 см и противолежащим ей углом $135^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 1 см. Найдите радиус шара.

186. Вершины треугольника со стороной 4 см и противолежащим ей углом 135° лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 1 см. Найдите радиус шара.

Пусть вершины треугольника лежат в плоскости $\alpha$. Так как все они находятся на поверхности шара, то плоскость $\alpha$ пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной для данного треугольника.

Обозначим радиус шара как $R$, радиус описанной окружности треугольника как $r$, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника как $d$. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора, они связаны соотношением:
$R^2 = d^2 + r^2$

Из условия задачи нам известно, что расстояние от центра шара до плоскости треугольника $d = 1$ см. Чтобы найти радиус шара $R$, нам необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов:
$2r = \frac{a}{\sin A}$
где $a$ — сторона треугольника, а $A$ — противолежащий ей угол.

По условию, нам дана сторона $a = 4$ см и противолежащий ей угол $A = 135^\circ$. Найдем значение синуса этого угла:
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу и найдем $r$:
$2r = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$
$r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная $d = 1$ см и $r = 2\sqrt{2}$ см, мы можем найти радиус шара $R$ по формуле $R^2 = d^2 + r^2$:
$R^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$
$R = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.