Номер 193, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и 29 см. Расстояние центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $3\sqrt{5}$ см. Найдите радиус шара.

193. Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и 29 см. Расстояние центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $3\sqrt{5}$ см. Найдите радиус шара.

Пусть стороны треугольника равны $a = 6$ см, $b = 25$ см и $c = 29$ см.Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. Шар касается всех сторон треугольника, это означает, что его центр $O$ равноудален от этих сторон.

Проекция центра шара $O$ на плоскость треугольника, точка $O'$, является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром). Расстояние от инцентра $O'$ до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности $r$.

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости треугольника, по условию, равно $h = OO' = 3\sqrt{5}$ см.

Радиус шара $R$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются радиус вписанной окружности $r$ и расстояние от центра шара до плоскости треугольника $h$. Таким образом, по теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + h^2$

Для нахождения $R$, сначала необходимо вычислить радиус вписанной окружности $r$.

1. Вычисление полупериметра и площади треугольника

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Площадь треугольника $S$ найдем по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см$^2$.

2. Вычисление радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.

3. Вычисление радиуса шара

Теперь, зная $r=2$ см и $h=3\sqrt{5}$ см, можем найти радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + h^2 = 2^2 + (3\sqrt{5})^2 = 4 + 9 \cdot 5 = 4 + 45 = 49$

$R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.