Номер 197, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а радиус описанного около неё шара — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

197. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а радиус описанного около неё шара — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, $h$ — её высота, а $R$ — радиус описанного около неё шара. По условию задачи дано: $a = 8$ см, $R = 9$ см.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Так как призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат. Периметр основания равен: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся свойством описанного шара. Центр описанного шара совпадает с центром призмы, то есть точкой, равноудалённой от всех вершин призмы. Расстояние от центра шара до любой вершины призмы равно радиусу $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$ (катет) и половиной диагонали основания призмы $\frac{d}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{h}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2$

Сначала найдём диагональ $d$ квадратного основания со стороной $a = 8$ см: $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Тогда половина диагонали равна: $\frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим известные значения в уравнение теоремы Пифагора и найдём высоту $h$: $9^2 = (\frac{h}{2})^2 + (4\sqrt{2})^2$ $81 = (\frac{h}{2})^2 + 16 \cdot 2$ $81 = (\frac{h}{2})^2 + 32$ $(\frac{h}{2})^2 = 81 - 32$ $(\frac{h}{2})^2 = 49$ $\frac{h}{2} = \sqrt{49} = 7$ см.

Следовательно, высота призмы равна: $h = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 32 \cdot 14 = 448$ см$^2$.

Ответ: $448$ см$^2$.