Номер 201, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 9 см, а радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, — 6 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

201. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 9 см, а радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, — 6 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Для нахождения радиуса описанного шара необходимо последовательно определить параметры пирамиды: сторону и диагональ основания, а затем высоту пирамиды.

1. Нахождение параметров основания пирамиды
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус вписанной в квадрат окружности, обозначим его $r$, связан с его стороной $a$ формулой $r = \frac{a}{2}$.По условию задачи $r = 6$ см, следовательно, мы можем найти сторону основания $a$:$a = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.Зная сторону квадрата, найдем его диагональ $d$:$d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды
Высота правильной пирамиды ($H$) проецируется в центр ее основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ (катет).Половина диагонали равна: $\frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.Боковое ребро по условию $l = 9$ см.По теореме Пифагора найдем высоту $H$:$H^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2$$H^2 = 9^2 - (6\sqrt{2})^2 = 81 - (36 \cdot 2) = 81 - 72 = 9$$H = \sqrt{9} = 3$ см.

3. Нахождение радиуса описанного шара
Радиус шара ($R$), описанного около правильной пирамиды, можно вычислить по формуле, связывающей его с боковым ребром и высотой пирамиды:$R = \frac{l^2}{2H}$Подставим известные значения $l = 9$ см и $H = 3$ см в формулу:$R = \frac{9^2}{2 \cdot 3} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13,5$ см.

Ответ: 13,5 см.