Номер 202, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

202. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$, где $S$ — вершина, а $A_1 A_2 ... A_n$ — правильный многоугольник в основании. Пусть $H$ — центр основания, тогда $SH$ — высота пирамиды. По условию, боковое ребро равно $b$, например, $SA_1 = b$. Угол между боковым ребром и высотой пирамиды равен $\gamma$, то есть $\angle A_1SH = \gamma$.

Центр $O$ сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте (или на продолжении высоты). Радиус этой сферы $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой вершины пирамиды. Следовательно, расстояние от центра до вершины $S$ равно радиусу, и расстояние до любой вершины основания, например $A_1$, также равно радиусу: $OS = R$ и $OA_1 = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$, центр основания $H$ и одну из вершин основания $A_1$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle A_1SH$, который является прямоугольным, так как высота $SH$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $A_1H$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1SH$:

• гипотенуза $SA_1 = b$ (боковое ребро);
• катет $A_1H$ — радиус окружности, описанной около основания пирамиды;
• катет $SH$ — высота пирамиды;
• $\angle A_1SH = \gamma$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1SH$ находим длины катетов:
$A_1H = SA_1 \cdot \sin(\angle A_1SH) = b \sin(\gamma)$
$SH = SA_1 \cdot \cos(\angle A_1SH) = b \cos(\gamma)$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OA_1H$. Он также является прямоугольным, поскольку $OH$ (часть высоты) перпендикулярен $A_1H$ (лежит в плоскости основания).

• гипотенуза $OA_1 = R$ (радиус описанной сферы);
• катет $A_1H = b \sin(\gamma)$;
• катет $OH$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $SH$, его длина равна разности длин отрезков $SH$ и $SO$: $OH = SH - SO = b \cos(\gamma) - R$. (Если бы центр $O$ лежал вне отрезка $SH$, мы бы взяли модуль разности, но результат был бы тем же).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle OA_1H$:
$OA_1^2 = A_1H^2 + OH^2$

Подставим известные выражения в это уравнение:
$R^2 = (b \sin(\gamma))^2 + (b \cos(\gamma) - R)^2$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение:
$R^2 = b^2 \sin^2(\gamma) + (b^2 \cos^2(\gamma) - 2 b R \cos(\gamma) + R^2)$
$R^2 = b^2 \sin^2(\gamma) + b^2 \cos^2(\gamma) - 2 b R \cos(\gamma) + R^2$

Сгруппируем члены с $b^2$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$:
$R^2 = b^2 (\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma)) - 2 b R \cos(\gamma) + R^2$
$R^2 = b^2 - 2 b R \cos(\gamma) + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:
$0 = b^2 - 2 b R \cos(\gamma)$

Отсюда выразим искомый радиус $R$:
$2 b R \cos(\gamma) = b^2$
$R = \frac{b^2}{2 b \cos(\gamma)} = \frac{b}{2 \cos(\gamma)}$

Ответ: $R = \frac{b}{2 \cos(\gamma)}$