Номер 204, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна 9 см и образует с его диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

204. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна 9 см и образует с его диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть $SABCD$ – данная пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$. Пусть вершина пирамиды – $S$. По условию, одна из сторон прямоугольника равна 9 см и образует с его диагональю угол $30^{\circ}$. Пусть $AB = 9$ см и $\angle BAC = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Катет $AB = 9$ см, угол $\angle BAC = 30^{\circ}$. Найдем длину гипотенузы $AC$, которая является диагональю прямоугольника: $AC = \frac{AB}{\cos(30^{\circ})} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей, обозначим ее $O$. Таким образом, $SO$ – высота пирамиды, и она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Расстояние от точки $O$ до любой вершины основания равно половине диагонали: $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания – это угол между наклонной $SA$ и ее проекцией $OA$, то есть $\angle SAO = 60^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Найдем высоту пирамиды $H=SO$: $H = SO = OA \cdot \tan(60^{\circ}) = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

Центр шара, описанного около пирамиды ($O_{сф}$), должен быть равноудален от всех вершин пирамиды. Следовательно, он должен лежать на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной около основания окружности, то есть на прямой $SO$.

Пусть искомое расстояние от центра шара до плоскости основания равно $d = O_{сф}O$. Пусть $R$ – радиус описанного шара. Тогда $O_{сф}A = O_{сф}S = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_{сф}OA$. По теореме Пифагора: $R^2 = O_{сф}A^2 = OA^2 + O_{сф}O^2 = (3\sqrt{3})^2 + d^2 = 27 + d^2$.

Расстояние от центра шара до вершины пирамиды $S$ равно $O_{сф}S = SO - O_{сф}O = H - d = 9 - d$. Поскольку $O_{сф}S = R$, мы можем приравнять выражения для $R^2$: $(9 - d)^2 = 27 + d^2$ $81 - 18d + d^2 = 27 + d^2$ $81 - 27 = 18d$ $54 = 18d$ $d = \frac{54}{18} = 3$ см.

Ответ: 3 см.