Номер 198, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью одной из боковых граней угол $\alpha$, а с плоскостью основания — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $R$.

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью одной из боковых граней угол $ \alpha $, а с плоскостью основания — угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $ R $.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. Площадь его боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2(a+b)c$.

Диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда связана с радиусом $R$ описанной около него сферы соотношением $d = 2R$, так как диагональ параллелепипеда является диаметром описанной сферы. Квадрат диагонали равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Следовательно, $a^2 + b^2 + c^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Угол между наклонной (диагональю $d$) и плоскостью (основанием) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $d$ на плоскость основания является диагональ основания. Вместе с высотой параллелепипеда $c$ они образуют прямоугольный треугольник, где $d$ — гипотенуза, а $c$ — катет, противолежащий углу $\beta$.

Из этого треугольника получаем: $\sin\beta = \frac{c}{d}$, откуда $c = d \sin\beta = 2R \sin\beta$.

Аналогично, угол между диагональю $d$ и плоскостью одной из боковых граней — это угол $\alpha$ между диагональю $d$ и её проекцией на эту плоскость. Ребро, перпендикулярное этой боковой грани (пусть это будет ребро $a$), диагональ $d$ и её проекция образуют прямоугольный треугольник, где $d$ — гипотенуза, а $a$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.

Отсюда: $\sin\alpha = \frac{a}{d}$, откуда $a = d \sin\alpha = 2R \sin\alpha$.

Теперь найдем третье измерение $b$ из соотношения $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$:

$(2R \sin\alpha)^2 + b^2 + (2R \sin\beta)^2 = (2R)^2$

$4R^2 \sin^2\alpha + b^2 + 4R^2 \sin^2\beta = 4R^2$

Разделив на $4R^2$, получим:

$\sin^2\alpha + \frac{b^2}{4R^2} + \sin^2\beta = 1$

$\frac{b^2}{4R^2} = 1 - \sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$\frac{b^2}{4R^2} = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

$b^2 = 4R^2(\cos^2\alpha - \sin^2\beta)$

$b = 2R \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(2R \sin\alpha + 2R \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}) \cdot (2R \sin\beta)$

Вынося общие множители, получаем:

$S_{бок} = 2 \cdot 2R (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}) \cdot 2R \sin\beta$

$S_{бок} = 8R^2 \sin\beta (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta})$

Ответ: $8R^2 \sin\beta (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta})$.