Номер 192, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Взаимное расположение сферы и плоскости. Вариант 3. Упражнения - номер 192, страница 96.

Условие 2020.

192. Радиус шара равен 16 см. Шар касается всех сторон правильного треугольника со стороной 48 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Условие 2023.

192. Радиус шара равен 16 см. Шар касается всех сторон правильного треугольника со стороной 48 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Решение.

Решение 2 (2023).

Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. По условию, $R = 16$ см. Пусть данный правильный треугольник со стороной $a = 48$ см лежит в плоскости $\alpha$.

Так как шар касается всех трех сторон треугольника, то точки касания лежат на этих сторонах. Проекция центра шара $O$ на плоскость треугольника $\alpha$ является точкой, равноудаленной от всех сторон этого треугольника. В треугольнике такой точкой является центр вписанной окружности (инцентр). Обозначим эту точку-проекцию как $H$.

Искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OH$. Обозначим это расстояние как $h$.

Расстояние от инцентра $H$ до любой из сторон треугольника — это радиус вписанной в треугольник окружности ($r$). Для правильного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны треугольника $a = 48$ см:

$r = \frac{48}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHT$, где $T$ — любая из точек касания шара со стороной треугольника. В этом треугольнике:

• $OT$ — гипотенуза, равная радиусу шара $R$, так как это расстояние от центра шара до точки на его поверхности. $OT = R = 16$ см.

• $OH$ — катет, равный искомому расстоянию $h$.

• $HT$ — катет, равный радиусу вписанной окружности $r$, так как $H$ — инцентр, а $T$ — точка касания. $HT = r = 8\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора, $OT^2 = OH^2 + HT^2$, или $R^2 = h^2 + r^2$. Выразим и найдем $h$:

$h^2 = R^2 - r^2$

$h^2 = 16^2 - (8\sqrt{3})^2$

$h^2 = 256 - (64 \cdot 3)$

$h^2 = 256 - 192$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.