Номер 188, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Плоскость $ \alpha $ касается шара с центром $ O $ в точке $ A $, точка $ B $ принадлежит плоскости $ \alpha $ (рис. 27). Найдите радиус шара, если $ AB = m $, $ \angle AOB = \gamma $.

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 27). Найдите радиус шара, если $AB = m$, $\angle AOB = \gamma$.

Рис. 27

Поскольку плоскость α касается шара с центром в точке O в точке A, радиус шара OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости α. Это означает, что $ OA \perp \alpha $.

Так как точка B принадлежит плоскости α, то и вся прямая AB лежит в этой плоскости. Из того, что прямая OA перпендикулярна плоскости α, следует, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Следовательно, $ OA \perp AB $.

Таким образом, треугольник ΔOAB является прямоугольным, где $ \angle OAB = 90^\circ $. В этом треугольнике:

• $ OA = R $ — радиус шара (прилежащий катет к углу $ \gamma $).
• $ AB = m $ — (противолежащий катет к углу $ \gamma $).
• $ \angle AOB = \gamma $ — известный угол.

Для нахождения радиуса R воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$ \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OA} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \tan(\gamma) = \frac{m}{R} $

Теперь выразим радиус R из этого уравнения:

$ R = \frac{m}{\tan(\gamma)} $

Используя тригонометрическое тождество $ \cot(\gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)} $, можно также записать ответ в виде:

$ R = m \cdot \cot(\gamma) $

Ответ: $ \frac{m}{\tan(\gamma)} $