Номер 184, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $4 : 5 : 9$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $4 : 5 : 9$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

Пусть диаметр шара равен $D$, а его радиус равен $R$.

Согласно условию, диаметр разделен двумя точками на три последовательные части, длины которых относятся как $4:5:9$. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины этих трех частей будут равны $4k$, $5k$ и $9k$.

Сумма длин этих частей равна диаметру шара:

$D = 4k + 5k + 9k = 18k$

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{18k}{2} = 9k$

Для нахождения радиусов сечений разместим центр шара в начале координат $O(0)$. Пусть диаметр лежит на оси Ox, тогда его концы находятся в точках с координатами $-R$ и $R$, то есть $-9k$ и $9k$.

Найдем координаты двух точек, которые делят диаметр. Пусть первая точка $M_1$ находится на расстоянии $4k$ от левого конца диаметра (точки $-9k$). Ее координата будет:

$x_1 = -9k + 4k = -5k$

Вторая точка $M_2$ находится на расстоянии $5k$ от первой точки $M_1$. Ее координата:

$x_2 = -5k + 5k = 0$

Расстояние от второй точки до правого конца диаметра (точки $9k$) равно $9k - 0 = 9k$, что соответствует третьей части. Таким образом, координаты точек деления: $-5k$ и $0$.

Сечения шара проходят через эти точки перпендикулярно диаметру. Расстояния $h$ от центра шара до плоскостей этих сечений равны модулям координат точек деления:

• Для первого сечения: $h_1 = |-5k| = 5k$
• Для второго сечения: $h_2 = |0| = 0$ (это сечение проходит через центр шара и является большим кругом)

Площадь $S$ сечения шара радиуса $R$ плоскостью, удаленной от центра на расстояние $h$, вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус сечения. По теореме Пифагора, $r^2 = R^2 - h^2$.

Найдем площади двух сечений.

Площадь первого сечения $S_1$:

$S_1 = \pi (R^2 - h_1^2) = \pi ((9k)^2 - (5k)^2) = \pi (81k^2 - 25k^2) = 56\pi k^2$

Площадь второго сечения $S_2$:

$S_2 = \pi (R^2 - h_2^2) = \pi ((9k)^2 - 0^2) = \pi (81k^2) = 81\pi k^2$

Теперь найдем отношение площадей этих сечений:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{56\pi k^2}{81\pi k^2} = \frac{56}{81}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно $56:81$.

Ответ: $56:81$.