Номер 191, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x+3)^2 + (y-2)^2 + (z-6)^2 = 36$ в точке $D (-5; -2; 10)$.

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$ в точке $D (-5; -2; 10)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где точка $C(x_0, y_0, z_0)$ является центром сферы, а $R$ — её радиусом.

В нашем случае уравнение сферы дано в виде $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$.

Отсюда мы можем определить координаты центра сферы $C$ и её радиус:

• Координаты центра: $C(-3; 2; 6)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = 6$.

Плоскость, касающаяся сферы в некоторой точке, перпендикулярна радиусу, проведенному из центра сферы в эту точку касания. Это означает, что вектор, соединяющий центр сферы $C$ и точку касания $D$, является вектором нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{CD}$:

$\vec{n} = \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C)$

Подставляем координаты точек $C(-3; 2; 6)$ и $D(-5; -2; 10)$:

$\vec{n} = (-5 - (-3); -2 - 2; 10 - 6) = (-2; -4; 4)$

Теперь у нас есть вектор нормали к плоскости $\vec{n}(-2; -4; 4)$ и точка $D(-5; -2; 10)$, через которую эта плоскость проходит.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставляем координаты вектора нормали $A=-2, B=-4, C=4$ и координаты точки $D(x_0=-5, y_0=-2, z_0=10)$:

$-2(x - (-5)) - 4(y - (-2)) + 4(z - 10) = 0$

$-2(x + 5) - 4(y + 2) + 4(z - 10) = 0$

Раскроем скобки:

$-2x - 10 - 4y - 8 + 4z - 40 = 0$

Приведем подобные члены:

$-2x - 4y + 4z - 58 = 0$

Для упрощения уравнения можно разделить все его члены на $-2$:

$x + 2y - 2z + 29 = 0$

Ответ: $x + 2y - 2z + 29 = 0$.