Номер 185, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Взаимное расположение сферы и плоскости. Вариант 3. Упражнения - номер 185, страница 95.

Условие 2020.

185. Вершины квадрата лежат на поверхности шара, радиус которого равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата, если его сторона равна 8 см.

Условие 2023.

185. Вершины квадрата лежат на поверхности шара, радиус которого равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата, если его сторона равна 8 см.

Решение.

Решение 2 (2023).

Пусть $R$ - радиус шара, $a$ - сторона квадрата, а $h$ - искомое расстояние от центра шара до плоскости квадрата. Так как вершины квадрата лежат на поверхности шара, это означает, что квадрат вписан в окружность, которая является сечением шара плоскостью, в которой лежит квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• радиусом шара $R$, проведенным к одной из вершин квадрата (это гипотенуза);
• искомым расстоянием $h$ от центра шара до плоскости квадрата (это один катет);
• радиусом $r$ окружности, описанной около квадрата (это второй катет).

По теореме Пифагора, эти величины связаны соотношением: $R^2 = h^2 + r^2$.

По условию задачи, радиус шара $R = 7$ см, а сторона квадрата $a = 8$ см.

Найдем радиус $r$ окружности, описанной около квадрата. Этот радиус равен половине диагонали квадрата. Сначала вычислим диагональ $d$ квадрата по формуле $d = a\sqrt{2}$:$d = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности $r$:$r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Подставим известные значения $R$ и $r$ в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти $h$:$h^2 = R^2 - r^2$$h^2 = 7^2 - (4\sqrt{2})^2$$h^2 = 49 - (16 \cdot 2)$$h^2 = 49 - 32$$h^2 = 17$$h = \sqrt{17}$ см.

Ответ: $\sqrt{17}$ см.