Номер 180, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8z + 11 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8z + 11 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, его необходимо привести к каноническому виду: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8z + 11 = 0$.

Сгруппируем члены уравнения, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 - 4x) + y^2 + (z^2 + 8z) + 11 = 0$.

Далее, для выражений в скобках выделим полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности/суммы: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для группы с переменной $x$:

$x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$.

Для группы с переменной $y$:

$y^2 = (y - 0)^2$.

Для группы с переменной $z$:

$z^2 + 8z = (z^2 + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (z + 4)^2 - 16$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в сгруппированное уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + (y - 0)^2 + ((z + 4)^2 - 16) + 11 = 0$.

Упростим уравнение, собрав все числовые члены:

$(x - 2)^2 + y^2 + (z + 4)^2 - 4 - 16 + 11 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 + (z + 4)^2 - 9 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z + 4)^2 = 9$.

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения $9 > 0$, это уравнение задает сферу в трехмерном пространстве. Таким образом, доказано, что исходное уравнение является уравнением сферы.

Теперь определим координаты центра и радиус этой сферы, сравнивая наше уравнение с канонической формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из сравнения видно, что:

$x_0 = 2$

$y_0 = 0$

$z_0 = -4$

$R^2 = 9$, следовательно, $R = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, центр сферы находится в точке с координатами (2; 0; -4), а ее радиус равен 3.

Ответ: Координаты центра сферы — (2; 0; -4), радиус сферы — 3.