Номер 178, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Точка D принадлежит сфере $x^2 + (y - 15)^2 + (z + 8)^2 = 400$, точка O — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой OD, но не принадлежит отрезку OD. Найдите расстояние от точки D до начала координат.

178. Точка $D$ принадлежит сфере $x^2 + (y - 15)^2 + (z + 8)^2 = 400$, точка $O$ — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой $OD$, но не принадлежит отрезку $OD$. Найдите расстояние от точки $D$ до начала координат.

Сначала определим параметры сферы из ее уравнения $x^2 + (y - 15)^2 + (z + 8)^2 = 400$. Каноническое уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $C(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус.

Сравнивая данное уравнение с каноническим, находим:

• Координаты центра сферы $C$: $(0, 15, -8)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 400$, откуда радиус $R = \sqrt{400} = 20$.

Точка $O$ — начало координат, поэтому ее координаты $O(0, 0, 0)$.

Найдем расстояние от начала координат $O$ до центра сферы $C$ по формуле расстояния между двумя точками: $OC = \sqrt{(0-0)^2 + (15-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{0 + 225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

По условию, центр сферы $C$ лежит на прямой $OD$, но не на отрезке $OD$. Это означает, что точки $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой (коллинеарны), и точка $C$ не находится между точками $O$ и $D$. Существуют два возможных порядка расположения этих трех точек на прямой, при которых $C$ не лежит на отрезке $OD$:

1. Точка $D$ лежит между $O$ и $C$. Порядок точек: $O-D-C$.
2. Точка $O$ лежит между $C$ и $D$. Порядок точек: $C-O-D$.

Расстояние от любой точки на сфере до ее центра равно радиусу. Следовательно, расстояние $CD = R = 20$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если порядок точек $O-D-C$, то расстояние $OC$ равно сумме расстояний $OD$ и $DC$: $OC = OD + DC$ $17 = OD + 20$ $OD = 17 - 20 = -3$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.
2. Если порядок точек $C-O-D$, то расстояние $CD$ равно сумме расстояний $CO$ и $OD$: $CD = CO + OD$ $20 = 17 + OD$ $OD = 20 - 17 = 3$. Это значение является положительным и, следовательно, возможным.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до начала координат равно 3.

Ответ: 3