Номер 171, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна $6 \text{ см}$, апофема — $4 \text{ см}$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, апофема — 4 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований, а $l$ — образующая конуса.

Так как правильная усечённая треугольная пирамида описана около усечённого конуса, то основания конуса являются окружностями, вписанными в основания пирамиды. Основаниями правильной усечённой треугольной пирамиды являются равносторонние треугольники. Таким образом, радиусы оснований конуса $r$ и $R$ равны радиусам окружностей, вписанных в основания пирамиды.

1. Нахождение радиуса меньшего основания конуса, $r$

Радиус $r$ равен радиусу окружности, вписанной в меньшее основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $a_1 = 6$ см. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле $r_{впис} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса большего основания конуса, $R$, и образующей, $l$

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через апофему усечённой пирамиды ($h_a$) и перпендикулярное стороне основания. Данное сечение представляет собой прямоугольную трапецию, у которой:

• основания равны радиусам оснований конуса, $R$ и $r$;
• высота равна высоте усечённого конуса, $H$;
• наклонная боковая сторона равна апофеме усечённой пирамиды, $h_a = 4$ см;
• угол между наклонной стороной ($h_a$) и большим основанием ($R$) равен двугранному углу при ребре большего основания пирамиды, то есть 60°.

Из этой трапеции, рассмотрев прямоугольный треугольник с гипотенузой $h_a$, находим его катеты: разность радиусов $R-r$ и высоту $H$.

$R - r = h_a \cdot \cos(60°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Зная $r$, находим $R$:

$R = r + 2 = \sqrt{3} + 2$ см.

Высота усечённого конуса $H$:

$H = h_a \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов $R-r$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (R-r)^2$

$l = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности усечённого конуса

Подставим найденные значения $R = 2 + \sqrt{3}$ см, $r = \sqrt{3}$ см и $l = 4$ см в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R + r)l = \pi ((2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3}) \cdot 4$

$S_{бок} = \pi (2 + 2\sqrt{3}) \cdot 4 = 8\pi(1 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $8\pi(1 + \sqrt{3})$ см$^2$.