Страница 94 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая.

Поскольку конус вписан в пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в основание пирамиды (равнобедренный треугольник). Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ этой вписанной окружности. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Условие равенства двугранных углов при ребрах основания ($\varphi$) означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Образующая конуса $L$ совпадает с апофемой боковой грани пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $L$, угол между $L$ и $r$ равен $\varphi$. Отсюда следует соотношение: $\cos \varphi = \frac{r}{L}$, из которого находим образующую: $L = \frac{r}{\cos \varphi}$.

Подставив это в формулу площади, получаем: $S_{бок} = \pi r L = \pi r \cdot \frac{r}{\cos \varphi} = \frac{\pi r^2}{\cos \varphi}$.

Для нахождения площади нам необходимо вычислить радиус $r$ вписанной в основание окружности. Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом $\beta$ между ними.

Радиус вписанной окружности находится по формуле $r = \frac{S_{осн}}{p}$, где $S_{осн}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta$.

Найдем третью сторону основания, обозначим ее $b$, по теореме косинусов:

$b^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos \beta = 2a^2(1 - \cos \beta) = 4a^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})$.

Следовательно, $b = 2a \sin(\frac{\beta}{2})$.

Теперь найдем полупериметр:

$p = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + 2a \sin(\frac{\beta}{2})}{2} = a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))$.

Вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin \beta}{a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin \beta}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin \beta = 2 \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$, упростим выражение для радиуса:

$r = \frac{a \cdot 2 \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{1 + \sin(\frac{\beta}{2})}$.

Наконец, подставляем найденный радиус $r$ в формулу для площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \frac{\pi r^2}{\cos \varphi} = \frac{\pi}{\cos \varphi} \left( \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{1 + \sin(\frac{\beta}{2})} \right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})\cos^2(\frac{\beta}{2})}{\cos \varphi (1 + \sin(\frac{\beta}{2}))^2}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})\cos^2(\frac{\beta}{2})}{\cos \varphi (1 + \sin(\frac{\beta}{2}))^2}$.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиус меньшего основания усечённого конуса равен 4 см, высота — 12 см, а образующая — $6\sqrt{5}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиус меньшего основания усечённого конуса равен 4 см, высота — 12 см, а образующая — $6\sqrt{5}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Для решения задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности правильной усечённой четырёхугольной пирамиды. Формула для её вычисления: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Дано:

• Радиус меньшего основания конуса, $r = 4$ см.
• Высота усечённого конуса (и вписанной пирамиды), $h = 12$ см.
• Образующая усечённого конуса, $L = 6\sqrt{5}$ см.

1. Найдём радиус большего основания усечённого конуса (R)

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, у которой высота равна $h$, боковая сторона равна $L$, а полусуммы оснований равны $R$ и $r$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $L$ и разностью радиусов $(R-r)$, по теореме Пифагора имеем:

$L^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения:

$(6\sqrt{5})^2 = 12^2 + (R-4)^2$

$36 \cdot 5 = 144 + (R-4)^2$

$180 = 144 + (R-4)^2$

$(R-4)^2 = 180 - 144 = 36$

$R-4 = 6$

$R = 10$ см.

2. Найдём стороны оснований вписанной пирамиды (a₁ и a₂)

Так как в конус вписана правильная четырёхугольная пирамида, её основаниями являются квадраты, вписанные в окружности оснований конуса. Радиус окружности, описанной около квадрата, связан с его стороной $a$ формулой $R_{окр} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Для меньшего основания (со стороной $a_2$):

$r = \frac{a_2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 4 = \frac{a_2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a_2 = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Для большего основания (со стороной $a_1$):

$R = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 10 = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a_1 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см.

3. Найдём апофему усечённой пирамиды (hₐ)

Апофему $h_a$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и разность апофем оснований (которые для квадрата равны половине его стороны), а гипотенузой — сама апофема $h_a$.

$h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2}\right)^2$

$h_a^2 = 12^2 + \left(\frac{10\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$h_a^2 = 144 + (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2$

$h_a^2 = 144 + (3\sqrt{2})^2$

$h_a^2 = 144 + 9 \cdot 2 = 144 + 18 = 162$

$h_a = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$ см.

4. Найдём площадь боковой поверхности усечённой пирамиды (Sбок)

Сначала вычислим периметры оснований:

$P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.

$P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 10\sqrt{2} = 40\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим все значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(40\sqrt{2} + 16\sqrt{2}) \cdot 9\sqrt{2}$

$S_{бок} = \frac{1}{2}(56\sqrt{2}) \cdot 9\sqrt{2} = 28\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$

$S_{бок} = 28 \cdot 9 \cdot (\sqrt{2})^2 = 252 \cdot 2 = 504$ см$^2$.

Ответ: $504$ см$^2$.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна $6 \text{ см}$, апофема — $4 \text{ см}$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, апофема — 4 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований, а $l$ — образующая конуса.

Так как правильная усечённая треугольная пирамида описана около усечённого конуса, то основания конуса являются окружностями, вписанными в основания пирамиды. Основаниями правильной усечённой треугольной пирамиды являются равносторонние треугольники. Таким образом, радиусы оснований конуса $r$ и $R$ равны радиусам окружностей, вписанных в основания пирамиды.

1. Нахождение радиуса меньшего основания конуса, $r$

Радиус $r$ равен радиусу окружности, вписанной в меньшее основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $a_1 = 6$ см. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле $r_{впис} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса большего основания конуса, $R$, и образующей, $l$

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через апофему усечённой пирамиды ($h_a$) и перпендикулярное стороне основания. Данное сечение представляет собой прямоугольную трапецию, у которой:

• основания равны радиусам оснований конуса, $R$ и $r$;
• высота равна высоте усечённого конуса, $H$;
• наклонная боковая сторона равна апофеме усечённой пирамиды, $h_a = 4$ см;
• угол между наклонной стороной ($h_a$) и большим основанием ($R$) равен двугранному углу при ребре большего основания пирамиды, то есть 60°.

Из этой трапеции, рассмотрев прямоугольный треугольник с гипотенузой $h_a$, находим его катеты: разность радиусов $R-r$ и высоту $H$.

$R - r = h_a \cdot \cos(60°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Зная $r$, находим $R$:

$R = r + 2 = \sqrt{3} + 2$ см.

Высота усечённого конуса $H$:

$H = h_a \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов $R-r$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (R-r)^2$

$l = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности усечённого конуса

Подставим найденные значения $R = 2 + \sqrt{3}$ см, $r = \sqrt{3}$ см и $l = 4$ см в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R + r)l = \pi ((2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3}) \cdot 4$

$S_{бок} = \pi (2 + 2\sqrt{3}) \cdot 4 = 8\pi(1 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $8\pi(1 + \sqrt{3})$ см$^2$.

172. На сфере с центром $O$ отметили точки $E$ и $F$ такие, что $EF = 24$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $EF$, если диаметр сферы равен $30$ см.

172. На сфере с центром $O$ отметили точки $E$ и $F$ такие, что $EF = 24$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $EF$, если диаметр сферы равен $30$ см.

Рассмотрим треугольник $OEF$. Так как точки $E$ и $F$ находятся на сфере с центром в точке $O$, отрезки $OE$ и $OF$ являются радиусами этой сферы. Следовательно, $OE = OF$, и треугольник $OEF$ — равнобедренный с основанием $EF$.

Найдем радиус сферы $R$. Диаметр сферы равен 30 см, поэтому радиус равен половине диаметра:
$R = \frac{30}{2} = 15$ см.
Таким образом, длины боковых сторон треугольника $OEF$ равны $OE = OF = 15$ см.

Расстояние от точки $O$ до прямой $EF$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $O$ к отрезку $EF$. Обозначим этот перпендикуляр $OH$, где $H$ — точка на отрезке $EF$.

В равнобедренном треугольнике $OEF$ высота $OH$, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $EF$.
Найдем длину отрезка $EH$:
$EH = \frac{EF}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHE$ (с прямым углом $H$). Гипотенуза $OE$ равна радиусу сферы (15 см), а катет $EH$ равен 12 см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $OH$:
$OE^2 = OH^2 + EH^2$
$15^2 = OH^2 + 12^2$
$225 = OH^2 + 144$
$OH^2 = 225 - 144$
$OH^2 = 81$
$OH = \sqrt{81} = 9$ см.

Таким образом, расстояние от точки $O$ до прямой $EF$ составляет 9 см.

Ответ: 9 см.

173. Радиус сферы равен 5,8 см. Как относительно сферы — внутри сферы, на сфере или вне сферы — расположена точка А, если она удалена от центра сферы:

1) на $5\frac{3}{4}$ см;

2) на $5\frac{4}{5}$ см;

3) на $5\frac{5}{6}$ см?

173. Радиус сферы равен 5,8 см. Как относительно сферы — внутри сферы, на сфере или вне сферы — расположена точка А, если она удалена от центра сферы:

1) на $5\frac{3}{4}$ см;

2) на $5\frac{4}{5}$ см;

3) на $5\frac{5}{6}$ см?

Положение точки A относительно сферы определяется соотношением между расстоянием от центра сферы до этой точки (обозначим его $d$) и радиусом сферы $R$. По условию, радиус сферы $R = 5,8$ см.

• Если $d < R$, точка находится внутри сферы.
• Если $d = R$, точка находится на сфере.
• Если $d > R$, точка находится вне сферы.

Чтобы определить положение точки А в каждом из случаев, сравним заданное расстояние $d$ с радиусом $R = 5,8$ см. Для удобства сравнения будем переводить смешанные дроби в десятичные.

1)

Расстояние от центра до точки А равно $d = 5\frac{3}{4}$ см. Переведем смешанную дробь в десятичную: $d = 5 + \frac{3}{4} = 5 + 0,75 = 5,75$ см. Сравним полученное расстояние с радиусом сферы: $5,75 \text{ см} < 5,8 \text{ см}$. Так как $d < R$, точка А расположена внутри сферы.

Ответ: внутри сферы.

2)

Расстояние от центра до точки А равно $d = 5\frac{4}{5}$ см. Переведем смешанную дробь в десятичную: $d = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0,8 = 5,8$ см. Сравним полученное расстояние с радиусом сферы: $5,8 \text{ см} = 5,8 \text{ см}$. Так как $d = R$, точка А расположена на сфере.

Ответ: на сфере.

3)

Расстояние от центра до точки А равно $d = 5\frac{5}{6}$ см. Переведем смешанную дробь в десятичную: $d = 5 + \frac{5}{6} = 5 + 0,8333... = 5,8(3)$ см. Сравним полученное расстояние с радиусом сферы: $5,8(3) \text{ см} > 5,8 \text{ см}$. Так как $d > R$, точка А расположена вне сферы.

Ответ: вне сферы.

174. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x + 4)^2 + (y - 9)^2 + (z - 10)^2 = 49$;

2) $x^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 15$.

174. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x + 4)^2 + (y - 9)^2 + (z - 10)^2 = 49;$

2) $x^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 15.$

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Для определения координат центра и радиуса сферы необходимо привести данное уравнение к стандартному виду и сопоставить его компоненты.

1) Дано уравнение сферы: $(x + 4)^2 + (y - 9)^2 + (z - 10)^2 = 49$.
Сравнивая это уравнение с общим уравнением сферы $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, находим:
$x - x_0 = x + 4$, откуда $x_0 = -4$.
$y - y_0 = y - 9$, откуда $y_0 = 9$.
$z - z_0 = z - 10$, откуда $z_0 = 10$.
Таким образом, координаты центра сферы – $(-4; 9; 10)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 49$, следовательно, радиус $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: Координаты центра $(-4; 9; 10)$, радиус $R = 7$.

2) Дано уравнение сферы: $x^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 15$.
Перепишем уравнение в стандартном виде:
$(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 0)^2 = 15$.
Сравнивая его с общим уравнением, находим:
$x_0 = 0$.
$y_0 = -2$.
$z_0 = 0$.
Таким образом, координаты центра сферы – $(0; -2; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 15$, следовательно, радиус $R = \sqrt{15}$.
Ответ: Координаты центра $(0; -2; 0)$, радиус $R = \sqrt{15}$.

175. Составьте уравнение сферы с центром в точке C (6; -4; 15) и радиусом $r = 19$.

175. Составьте уравнение сферы с центром в точке C (6; -4; 15) и радиусом $r = 19$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$

По условию задачи, центр сферы находится в точке $C(6; -4; 15)$, а радиус равен $r = 19$.
Следовательно, мы имеем следующие значения:
$x_0 = 6$
$y_0 = -4$
$z_0 = 15$
$r = 19$

Подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:
$(x - 6)^2 + (y - (-4))^2 + (z - 15)^2 = 19^2$

Упростим полученное выражение. Выражение $(y - (-4))$ становится $(y + 4)$. Также вычислим квадрат радиуса:
$19^2 = 361$

В результате получаем искомое уравнение сферы:
$(x - 6)^2 + (y + 4)^2 + (z - 15)^2 = 361$

Ответ: $(x - 6)^2 + (y + 4)^2 + (z - 15)^2 = 361$

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок EF, если $E(-1; 4; -3)$, $F(1; -2; -5)$.

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $EF$, если $E (-1; 4; -3)$, $F (1; -2; -5)$.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ в общем виде записывается как:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы составить уравнение для нашей сферы, необходимо определить координаты ее центра и радиус.

1. Нахождение центра сферы.

Поскольку отрезок $EF$ является диаметром сферы, ее центр $C$ будет находиться точно посередине этого отрезка. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов. Даны точки $E(-1; 4; -3)$ и $F(1; -2; -5)$.

Найдем координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$:

$x_0 = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_0 = \frac{z_E + z_F}{2} = \frac{-3 + (-5)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, центр сферы находится в точке $C(0; 1; -4)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен половине длины диаметра $EF$. Длину диаметра можно найти как расстояние между точками $E$ и $F$ по формуле расстояния в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Длина диаметра $EF$ равна:

$|EF| = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2 + (-5 - (-3))^2} = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44}$

Радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{|EF|}{2} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{2} = \frac{2\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11}$

Для уравнения сферы нам понадобится квадрат радиуса:

$R^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$

3. Составление уравнения сферы.

Теперь, зная координаты центра $C(0; 1; -4)$ и квадрат радиуса $R^2 = 11$, подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-4))^2 = 11$

Упростив, получаем окончательное уравнение:

$x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$

Ответ: $x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$

177. Точки $E$ (0; 5; $z$) и $F$ ($x$; -5; 0) принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 26$. Найдите хорду $EF$.

177. Точки $E (0; 5; z)$ и $F (x; -5; 0)$ принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 26$. Найдите хорду $EF$.

По условию задачи, точки $E(0; 5; z)$ и $F(x; -5; 0)$ принадлежат сфере, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 26$. Хорда $EF$ — это отрезок, соединяющий эти две точки. Чтобы найти ее длину, нужно найти расстояние между точками $E$ и $F$. Для этого сначала найдем неизвестные координаты $x$ и $z$.

Нахождение неизвестных координат

Поскольку точка $E(0; 5; z)$ лежит на сфере, ее координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим их в уравнение:

$0^2 + 5^2 + z^2 = 26$

$25 + z^2 = 26$

$z^2 = 26 - 25$

$z^2 = 1$

Аналогично, для точки $F(x; -5; 0)$, которая также лежит на сфере:

$x^2 + (-5)^2 + 0^2 = 26$

$x^2 + 25 = 26$

$x^2 = 26 - 25$

$x^2 = 1$

Нахождение длины хорды EF

Длина хорды $EF$ вычисляется как расстояние между точками $E(0; 5; z)$ и $F(x; -5; 0)$ по формуле расстояния в трехмерном пространстве:

$|EF| = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2 + (z_F - z_E)^2}$

Подставим координаты точек:

$|EF| = \sqrt{(x - 0)^2 + (-5 - 5)^2 + (0 - z)^2}$

$|EF| = \sqrt{x^2 + (-10)^2 + (-z)^2}$

$|EF| = \sqrt{x^2 + 100 + z^2}$

Теперь подставим найденные ранее значения $x^2 = 1$ и $z^2 = 1$ в формулу для длины хорды:

$|EF| = \sqrt{1 + 100 + 1}$

$|EF| = \sqrt{102}$

Ответ: $\sqrt{102}$