Страница 87 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 12 см, а высота — 24 см. Из точки $A$, принадлежащей отрезку $OO_1$, проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 32 см от точки $O$, а образующую цилиндра — в точке, удалённой от плоскости нижнего основания на 10 см. В каком отношении точка $A$ делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$?

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 12 см, а высота — 24 см. Из точки $A$, принадлежащей отрезку $OO_1$, проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 32 см от точки $O$, а образующую цилиндра — в точке, удалённой от плоскости нижнего основания на 10 см. В каком отношении точка $A$ делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$?

Пусть $O$ - центр нижнего основания, а $O_1$ - центр верхнего основания цилиндра. Ось цилиндра - это отрезок $OO_1$. По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 12$ см, а высота $H = OO_1 = 24$ см. Точка $A$ лежит на оси $OO_1$.

Проведенный из точки $A$ луч пересекает плоскость нижнего основания в точке $B$, удаленной от точки $O$ на 32 см, то есть $OB = 32$ см. Этот же луч пересекает образующую цилиндра в точке $C$, удаленной от плоскости нижнего основания на 10 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через луч $AB$. В этом сечении ось $OO_1$ будет вертикальным отрезком, а прямая $OB$ - горизонтальной прямой, на которой лежит радиус нижнего основания. Точки $A$, $C$ и $B$ лежат на одной прямой.

Пусть искомое расстояние $OA = h$. Нам нужно найти отношение $OA : AO_1$.

Опустим перпендикуляр из точки $C$ на плоскость нижнего основания. Пусть его основанием будет точка $E$. Так как точка $C$ лежит на образующей, расстояние от $E$ до центра основания $O$ равно радиусу цилиндра, то есть $OE = R = 12$ см. Высота точки $C$ над основанием равна $CE = 10$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ (с прямым углом $AOB$) и $\triangle CEB$ (с прямым углом $CEB$). Эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle AOB = \angle CEB = 90^\circ$.
2. $\angle ABO$ - общий угол.

Следовательно, $\triangle AOB \sim \triangle CEB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{AO}{CE} = \frac{OB}{EB} $$

Найдем длину катета $EB$: $EB = OB - OE = 32 - 12 = 20$ см.

Теперь подставим известные значения в пропорцию, чтобы найти $h = AO$: $$ \frac{h}{10} = \frac{32}{20} $$ $$ h = 10 \cdot \frac{32}{20} = \frac{320}{20} = 16 \text{ см} $$

Таким образом, расстояние $OA = 16$ см. Найдем вторую часть отрезка $OO_1$: $AO_1 = OO_1 - OA = 24 - 16 = 8$ см.

Искомое отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$, равно: $$ \frac{OA}{AO_1} = \frac{16}{8} = \frac{2}{1} $$

Ответ: 2:1.

114. Радиус основания цилиндра равен 17 см, а высота — $4\sqrt{6}$ см. Плоскость $\gamma$ пересекает его основания по хордам длиной 16 см и 30 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\gamma$. Найдите угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью основания цилиндра.

114. Радиус основания цилиндра равен 17 см, а высота — $4\sqrt{6}$ см. Плоскость $\gamma$ пересекает его основания по хордам длиной 16 см и 30 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\gamma$. Найдите угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью основания цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра $R = 17$ см, а высота $H = 4\sqrt{6}$ см. Плоскость $\gamma$ пересекает нижнее и верхнее основания по хордам $AB$ и $CD$ соответственно, с длинами $c_1 = 30$ см и $c_2 = 16$ см.

1. Найдем расстояния от центров оснований до хорд.

Рассмотрим одно из оснований. Пусть $O_1$ — центр основания, а $AB$ — хорда длиной $c_1 = 30$ см. Расстояние от центра до хорды, обозначим его $d_1$, можно найти из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является радиус $R$, одним катетом — половина хорды ($c_1/2$), а вторым катетом — искомое расстояние $d_1$.
По теореме Пифагора:
$d_1 = \sqrt{R^2 - (c_1/2)^2} = \sqrt{17^2 - (30/2)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Аналогично для второго основания. Пусть $O_2$ — центр, а $CD$ — хорда длиной $c_2 = 16$ см. Расстояние $d_2$ от центра до этой хорды:
$d_2 = \sqrt{R^2 - (c_2/2)^2} = \sqrt{17^2 - (16/2)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 15$ см.

2. Найдем угол между плоскостями.

Угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью основания цилиндра — это двугранный угол. Для его нахождения рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной хордам $AB$ и $CD$. В этом сечении мы получим прямоугольник, а линия пересечения с плоскостью $\gamma$ будет отрезком, соединяющим точки, лежащие на перпендикулярах, опущенных из центров оснований на хорды.

Пусть $\alpha$ — искомый угол. Тангенс этого угла равен отношению высоты цилиндра $H$ к расстоянию между проекциями хорд на одну плоскость.
Поскольку центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\gamma$, то и проекции хорд на плоскость сечения будут находиться по разные стороны от оси цилиндра. Поэтому расстояние между ними будет суммой расстояний $d_1$ и $d_2$.
Расстояние между проекциями хорд: $d = d_1 + d_2 = 8 + 15 = 23$ см.

Теперь мы можем найти тангенс угла $\alpha$ из прямоугольного треугольника, где катетами являются высота цилиндра $H$ и расстояние $d$:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{d} = \frac{4\sqrt{6}}{23}$

Следовательно, сам угол $\alpha$ равен арктангенсу этого значения.
$\alpha = \arctan\left(\frac{4\sqrt{6}}{23}\right)$

Ответ: $\arctan\left(\frac{4\sqrt{6}}{23}\right)$.

115. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

115. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

По условию, дана правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр. Это означает, что основания призмы (правильные треугольники) вписаны в основания цилиндра (круги), а высота цилиндра совпадает с высотой призмы $H$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона — диаметру его основания $D$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ находится по формуле:

$S_{сеч} = D \cdot H$

Чтобы найти площадь сечения, нам необходимо определить диаметр основания цилиндра. Так как треугольное основание призмы вписано в круглое основание цилиндра, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{2\sin(60^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Тогда диаметр основания цилиндра $D$ равен:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение диаметра в формулу площади осевого сечения:

$S_{сеч} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \cdot H = \frac{2aH}{\sqrt{3}}$

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$S_{сеч} = \frac{2aH \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2aH\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2aH\sqrt{3}}{3}$

116. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 8 см.

116. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 8 см.

По условию задачи, в цилиндр с радиусом основания $R = 8$ см и высотой $H = 8$ см вписана правильная четырехугольная призма. Это означает, что основанием призмы является квадрат, вписанный в окружность основания цилиндра, а высота призмы $h$ равна высоте цилиндра, то есть $h = H = 8$ см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы.

Сначала найдем сторону основания призмы. Так как квадрат вписан в окружность основания цилиндра, его диагональ $d$ равна диаметру этой окружности. Диаметр окружности $D = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см. Следовательно, диагональ квадрата $d=16$ см.

Связь между стороной квадрата $a$ и его диагональю $d$ выражается формулой $d = a\sqrt{2}$. Отсюда можем найти сторону $a$:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим периметр основания призмы (квадрата):

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы, используя высоту $h=8$ см:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 32\sqrt{2} \cdot 8 = 256\sqrt{2}$ см².

Ответ: $256\sqrt{2}$ см².

117. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

117. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Дано: основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a = 4$ см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Около призмы описан цилиндр.

1. Найдем гипотенузу $c$ равнобедренного прямоугольного треугольника в основании призмы. По теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Найдем высоту призмы $H$. Так как около призмы описан цилиндр, призма является прямой. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, сама гипотенуза $c$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость, то есть гипотенузой $c$. В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $45^\circ$, а гипотенуза $c$ — прилежащим катетом.
Следовательно, $\tan(45^\circ) = \frac{H}{c}$.
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то высота призмы равна гипотенузе основания:
$H = c = 4\sqrt{2}$ см.

3. Найдем параметры цилиндра, описанного около призмы. Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы: $H_{цил} = H = 4\sqrt{2}$ см.
Основание цилиндра — это круг, описанный около треугольника в основании призмы. Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

4. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра. Формула площади полной поверхности цилиндра $S_{полн}$:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi R^2 + 2\pi R H_{цил} = 2\pi R(R + H_{цил})$.
Подставим найденные значения $R$ и $H_{цил}$:
$S_{полн} = 2\pi (2\sqrt{2})(2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 4\pi\sqrt{2} \cdot (6\sqrt{2}) = 24\pi \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 24\pi \cdot 2 = 48\pi$ см$^2$.

Ответ: $48\pi$ см$^2$.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами и основанием, равным $a$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами и основанием, равным $a$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, вычисляется по формуле $S_{\text{бок. цил.}} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр описан около призмы, его основанием является окружность, описанная около основания призмы, а высота цилиндра равна высоте призмы. Следовательно, $R$ — это радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника в основании призмы, а $H$ — это высота призмы.

1. Найдем радиус R описанной окружности основания.
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине (угол между равными сторонами).Воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника: $2R = \frac{a}{\sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.В нашем случае сторона — это основание треугольника, равное $a$, а противолежащий угол равен $\alpha$.Отсюда радиус описанной окружности:$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

2. Найдем высоту H призмы.
По условию, диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника ($a$), образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$.Эта боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани, сторона $a$ и боковое ребро (высота $H$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• катет, лежащий в плоскости основания, — это сторона основания призмы, равная $a$;
• катет, перпендикулярный основанию, — это высота призмы $H$;
• угол между диагональю (гипотенузой) и стороной $a$ (проекцией диагонали на основание) равен $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan \beta = \frac{H}{a}$Отсюда выразим высоту призмы:$H = a \tan \beta$

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:$S_{\text{бок. цил.}} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right) \cdot (a \tan \beta)$Сократим 2 и сгруппируем члены:$S_{\text{бок. цил.}} = \pi \cdot \frac{a}{\sin \alpha} \cdot a \tan \beta = \frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin \alpha}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin \alpha}$