Номер 118, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами и основанием, равным $a$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами и основанием, равным $a$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, вычисляется по формуле $S_{\text{бок. цил.}} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр описан около призмы, его основанием является окружность, описанная около основания призмы, а высота цилиндра равна высоте призмы. Следовательно, $R$ — это радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника в основании призмы, а $H$ — это высота призмы.

1. Найдем радиус R описанной окружности основания.
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине (угол между равными сторонами).Воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника: $2R = \frac{a}{\sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.В нашем случае сторона — это основание треугольника, равное $a$, а противолежащий угол равен $\alpha$.Отсюда радиус описанной окружности:$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

2. Найдем высоту H призмы.
По условию, диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника ($a$), образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$.Эта боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани, сторона $a$ и боковое ребро (высота $H$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• катет, лежащий в плоскости основания, — это сторона основания призмы, равная $a$;
• катет, перпендикулярный основанию, — это высота призмы $H$;
• угол между диагональю (гипотенузой) и стороной $a$ (проекцией диагонали на основание) равен $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan \beta = \frac{H}{a}$Отсюда выразим высоту призмы:$H = a \tan \beta$

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:$S_{\text{бок. цил.}} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right) \cdot (a \tan \beta)$Сократим 2 и сгруппируем члены:$S_{\text{бок. цил.}} = \pi \cdot \frac{a}{\sin \alpha} \cdot a \tan \beta = \frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin \alpha}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin \alpha}$