Номер 119, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 8 см, а диагональ — $2\sqrt{13}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 8 см, а диагональ — $2\sqrt{13}$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, необходимо найти его диаметр и высоту. Диаметр основания цилиндра равен диаметру окружности, описанной около основания призмы (равнобокой трапеции), а высота цилиндра совпадает с высотой призмы.

1. Найдем радиус основания цилиндра (R).

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем $AD = 8$ см и $BC = 4$ см. Диагональ трапеции $AC = 2\sqrt{13}$ см.Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований. Таким образом, $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$ см.Найдем длину отрезка AH: $AH = AD - HD = 8 - 2 = 6$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции CH:$CH^2 = AC^2 - AH^2 = (2\sqrt{13})^2 - 6^2 = 4 \cdot 13 - 36 = 52 - 36 = 16$.$CH = \sqrt{16} = 4$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ACD. Найдем длину боковой стороны CD из прямоугольного треугольника CHD:$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.$CD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника ACD: $AD = 8$ см, $AC = 2\sqrt{13}$ см, $CD = 2\sqrt{5}$ см.Найдем радиус R описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.Площадь треугольника ACD:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см$^2$.$R = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot S_{ACD}} = \frac{8 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{5}}{4 \cdot 16} = \frac{32\sqrt{65}}{64} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ см.Диаметр основания цилиндра $D = 2R = \sqrt{65}$ см.

2. Найдем высоту цилиндра (H).

Высота цилиндра равна высоте призмы. Угол между диагональю призмы и плоскостью ее основания составляет 60°. Проекцией диагонали призмы на плоскость основания является диагональ основания AC. Таким образом, высота призмы H, диагональ основания AC и диагональ призмы образуют прямоугольный треугольник, в котором H — катет, противолежащий углу 60°.$H = AC \cdot \tan(60°) = 2\sqrt{13} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{39}$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания D и высоте H.Площадь осевого сечения $S_{сеч} = D \cdot H$.$S_{сеч} = \sqrt{65} \cdot 2\sqrt{39} = 2\sqrt{65 \cdot 39} = 2\sqrt{(5 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 13)} = 2\sqrt{13^2 \cdot 15} = 2 \cdot 13\sqrt{15} = 26\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $26\sqrt{15}$ см$^2$.