Номер 123, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

123. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Поскольку призмы прямые (так как они правильные), и одна вписана в цилиндр, а другая описана около него, их высоты равны высоте цилиндра $H$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм

Для начала найдём площадь боковой поверхности вписанной правильной четырёхугольной призмы ($S_{впис}$). В основании этой призмы лежит квадрат, вписанный в окружность основания цилиндра радиуса $R$. Пусть сторона квадрата равна $a_4$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности: $d = 2R$. Связь диагонали и стороны квадрата выражается формулой $d = a_4\sqrt{2}$. Следовательно, $a_4\sqrt{2} = 2R$, откуда находим сторону квадрата: $a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$. Периметр основания призмы (квадрата) равен $P_{4} = 4a_4 = 4R\sqrt{2}$. Тогда площадь боковой поверхности вписанной призмы составляет: $S_{впис} = P_{4} \cdot H = 4R\sqrt{2}H$.

Далее найдём площадь боковой поверхности описанной правильной треугольной призмы ($S_{опис}$). В основании этой призмы лежит равносторонний треугольник, описанный около окружности основания цилиндра радиуса $R$. Таким образом, окружность радиуса $R$ является вписанной в этот треугольник. Пусть сторона треугольника равна $a_3$. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности находится по формуле $R = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$. Отсюда выражаем сторону треугольника: $a_3 = 2R\sqrt{3}$. Периметр основания призмы (треугольника) равен $P_{3} = 3a_3 = 3 \cdot 2R\sqrt{3} = 6R\sqrt{3}$. Тогда площадь боковой поверхности описанной призмы составляет: $S_{опис} = P_{3} \cdot H = 6R\sqrt{3}H$.

Теперь мы можем найти искомое отношение площадей боковых поверхностей. В условии сначала упоминается вписанная призма, а затем описанная, поэтому найдём отношение $S_{впис}$ к $S_{опис}$: $$ \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4R\sqrt{2}H}{6R\sqrt{3}H} $$ Сократив общие множители $R$ и $H$, а также коэффициент 2, получим: $$ \frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} $$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $$ \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9} $$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$.